第 7 章小波与其他图像变换 (Wavelet and Other Image Transforms)

核心结论

预备知识（§7.1）：缩放函数 / 小波函数；尺度函数；时频局部化。
矩阵展开（§7.2）：Haar / Daubechies / 双正交小波基。
1D 小波变换（§7.3）：快速小波变换（FWT）；尺度 / 小波系数。
2D 小波变换（§7.4）：可分离小波基；金字塔分解。
小波包（§7.5）：完整二叉树分解；更细粒度。
其他变换（§7.6）：离散余弦变换（DCT）；Hadamard / Haar / Slant 变换。

本章主旨

本章是 DIP 的"变换工具箱"——小波与多种变换。理解后才能做多分辨率分析 / JPEG2000 压缩 / 去噪。

一、核心概念

本章围绕 6 个核心概念展开：预备 → 小波基 → 1D 变换 → 2D 变换 → 小波包 → 其他变换。

概念	定义 + 重要性	实现提示
预备知识	缩放函数 / 小波函数；时频局部化。	§7.1；理解小波基础。
矩阵展开	Haar / Daubechies / 双正交小波基。	§7.2；不同小波性质不同。
1D 小波变换	快速小波变换（FWT）；尺度 + 小波系数。	§7.3；金字塔分解基础。
2D 小波变换	可分离小波基；金字塔分解。	§7.4；图像多分辨率分析。
小波包	完整二叉树分解；更细粒度。	§7.5；更灵活的多分辨率。
其他变换	DCT / Hadamard / Haar / Slant。	§7.6；JPEG 用 DCT。

概念

定义 + 重要性

实现提示

预备知识

缩放函数 / 小波函数；时频局部化。

§7.1；理解小波基础。

矩阵展开

Haar / Daubechies / 双正交小波基。

§7.2；不同小波性质不同。

1D 小波变换

快速小波变换（FWT）；尺度 + 小波系数。

§7.3；金字塔分解基础。

2D 小波变换

可分离小波基；金字塔分解。

§7.4；图像多分辨率分析。

小波包

完整二叉树分解；更细粒度。

§7.5；更灵活的多分辨率。

其他变换

DCT / Hadamard / Haar / Slant。

§7.6；JPEG 用 DCT。

二、详细笔记

2.1 预备知识 (Preliminaries)

What：缩放函数 / 小波函数 / 尺度函数。

Why：理解小波基础。

How：

缩放函数 φ(x)：低频近似。
小波函数 ψ(x)：高频细节。
尺度函数：不同尺度的小波。
时频局部化：同时定位时间和频率。

When：所有小波应用。

Example：Haar 小波最简单；Daubechies 更平滑。

2.2 矩阵展开 (Matrix Expansions)

What：用小波基展开信号。

Why：理解小波表示。

How：

f(t) = Σ a_j φ_j(t) + Σ d_j ψ_j(t)。
Haar / Daubechies / 双正交 / Symlet / Coiflet。

When：信号压缩；去噪；特征提取。

Example：JPEG2000 用 CDF 9/7 小波。

2.3 1D 小波变换 (1D Wavelet Transform)

What：快速小波变换（FWT）；尺度 + 小波系数。

Why：信号 / 图像多分辨率分析。

How：

分解：低通 + 高通 → 近似 + 细节。
多尺度递归：分解近似继续。
Mallat 算法：O(N)。

When：去噪；压缩；特征提取。

Example：pywt.wavedec(signal, 'db4', level=3)。

2.4 2D 小波变换 (2D Wavelet Transforms)

What：可分离 2D 小波；金字塔分解。

Why：图像多分辨率分析。

How：

行 + 列分别做 1D 小波变换。
4 个子带：LL / LH / HL / HH。
多尺度递归分解 LL。

When：图像压缩（JPEG2000）；去噪；纹理分析。

Example*：pywt.wavedec2(img, 'db4', level=3) 返回 (cA, (cH, cV, cD)) × levels。

2.5 小波包 (Wavelet Packets)

What：完整二叉树分解；更细粒度。

Why：更灵活的多分辨率分析。

How：

递归分解所有子带（不只 LL）。
选择最优基（信息代价最小）。

When：纹理分析；非平稳信号。

Example*：pywt.WaveletPacket(data, 'db4')；wp['aa'].data。

2.6 其他变换 (Other Transforms)

What：DCT / Hadamard / Haar / Slant。

Why：不同变换适合不同场景。

How：

DCT：实数；JPEG 用 8×8 DCT。
Hadamard：仅 ±1；快速但块状。
Haar：最简单小波；阶跃。
Slant：线性斜变；快速。

When：JPEG 用 DCT；快速预览用 Hadamard。

Example*：cv2.dct(img)；scipy.fft.dct。

三、关键图表

视觉图表

Figure 1. 图 7-1：Haar 小波函数

Figure 2. 图 7-2：2D 小波金字塔

非可视化条目

非可视化条目（表 / 算法）

编号

内容摘要

表 7.1

小波基对比（Haar / Daubechies / Symlet）。

式 7-1 至 7-25

小波展开 / FWT 公式。

核心公式对照表

概念

公式

小波展开

\(f(t) = \sum_k a_k \phi(t-k) + \sum_j \sum_k d_{j,k} \psi(2^j t - k)\)

2D 小波

\(f(x,y) = \sum_{j,k} a_{j,k} \phi_{j,k}(x,y) + \text{细节项}\)

DCT

\(F(u,v) = \alpha(u)\alpha(v) \sum_{x,y} f(x,y) \cos\frac{(2x+1)u\pi}{2N} \cos\frac{(2y+1)v\pi}{2N}\)

四、思维导图

mindmap
  root((第 7 章 小波与其他变换))
    预备
      缩放小波
      时频局部化
    小波基
      Haar
      Daubechies
      双正交
    1D变换
      FWT
      尺度小波系数
    2D变换
      可分离
      金字塔
    小波包
      二叉树
      最优基
    其他变换
      DCT
      Hadamard

五、重点与易错点

小波的多分辨率特性：同时定位时间 + 频率；优于 STFT（短时傅里叶变换）。
Haar / Daubechies 选择：Haar 简单 / 块状；Daubechies 更平滑。
2D 小波金字塔：每层 4 子带；LL 递归分解。
JPEG 用 DCT；JPEG2000 用 DWT：后者压缩效率更高 / 无块效应。
小波去噪：阈值小波系数（高阈值去噪 / 低阈值保细节）。
跨章衔接：第 4 章频率域滤波的替代；第 8 章 JPEG2000 用 DWT；第 11 章特征提取可用小波系数。

第 7 章 小波与其他图像变换 (Wavelet and Other Image Transforms)

核心结论

一、核心概念

二、详细笔记

2.1 预备知识 (Preliminaries)

2.2 矩阵展开 (Matrix Expansions)

2.3 1D 小波变换 (1D Wavelet Transform)

2.4 2D 小波变换 (2D Wavelet Transforms)

2.5 小波包 (Wavelet Packets)

2.6 其他变换 (Other Transforms)

三、关键图表

视觉图表

非可视化条目

核心公式对照表

四、思维导图

五、重点与易错点

第 7 章小波与其他图像变换 (Wavelet and Other Image Transforms)