第 9 章几何图元 (Geometric Primitives)

核心结论

几何图元的 4 种表示技术：隐式（满足方程的点集）、参数化（用 t 参数描述）、"特定类型"（球、平面等专用）、"显式"（列出顶点）——每种各有优劣，按场景选用。
线与射线：参数化 P(t) = P₀ + t d；射线 t ≥ 0；线可双向延伸；2D 隐式 ax + by + c = 0 与参数化互转。
球与圆：中心 c + 半径 r；隐式 |P − c|² = r²；点积形式 P − c) · (P − c = r²；球与光线相交用 §10.4 二次方程。
包围盒 (AABB)：轴对齐长方体，min/max 两个点描述；碰撞检测快（O(1)）；变换后需重算（§9.4.4）。
平面：隐式 n · x = d（n 是单位法向量、d 是原点到平面距离）；点-平面距离 |n · p − d|；平面-平面 / 平面-射线 / 平面-三角形相交。
三角形：3 顶点 + 法向量；面积 = |e₁ × e₂| / 2；重心坐标 α + β + γ = 1 是三角形内点的代数描述。
多边形：分为简单 / 复杂、凸 / 凹；3D 引擎几乎只用三角形；任意多边形可 三角剖分。

本章主旨

本章把第 2 章的"点 / 向量"具象化为"线 / 面 / 体"等几何图元。每种图元介绍表示方法、关键运算（距离 / 相交 / 法向量）、3D 引擎中的常见应用。后续章节会用到这些图元：第 10 章的视图体（视锥体）依赖 AABB，第 11 章的碰撞检测依赖球 / 平面 / 三角形，第 13 章的曲线依赖参数化。

一、核心概念

本章围绕 7 个核心概念展开：从 4 种表示技术出发，依次介绍线、球、AABB、平面、三角形、多边形的几何表示与关键运算。

概念定义 + 重要性实现提示

概念	定义 + 重要性	实现提示
4 种表示技术	隐式（满足方程的点集）、参数化（用 t 描述）、特定类型（球 / 平面等）、显式（顶点列表）；每种适合不同任务。	§9.1；判别测试用隐式（点是否在内）；生成图元用参数化（t 取值）；碰撞用特定类型；渲染用显式。
线与射线	参数化 `P(t) = P₀ + t d`（t ∈ ℝ 为线，t ≥ 0 为射线）；2D 隐式 `ax + by + c = 0`（a² + b² = 1）。	§9.2；线-线 / 线-平面 / 线-三角形相交是图形基础运算。
球	中心 c + 半径 r；隐式 `	P −
² = r²` 或点积形式 `P − c) · (P − c = r²`。	§9.3；球-球 / 球-光线 / 球-AABB 相交是物理引擎基础。	AABB (轴对齐包围盒)
由 min / max 两点描述；与坐标轴对齐；碰撞检测 O(1)；变换后需重算（旋转后变 OBB）。	§9.4；八叉树 / BVH 加速碰撞用 AABB 做粗筛。	平面
隐式 `n · x = d`（n 是单位法向量、d 是原点到平面有符号距离）；三种定义：法向量 + 距离、三点法、最佳拟合。	§9.5；点-平面距离 `	n · p −
`；平面-三角形相交；视锥剔除。	三角形	3 顶点 + 边向量 `e₁, e₂`；面积 `
e₁ × e₂	/ 2`；重心坐标 `(α, β, γ)` 满足 `α + β + γ = 1`。	§9.6；3D 引擎几何基础；重心坐标用于纹理映射、shader 插值。
多边形	简单（无自交）/ 复杂；凸（任意两点连线在多边形内）/ 凹；3D 引擎几乎只用三角形（任意多边形可三角剖分）。	§9.7；多边形法向量 = 各三角形法向量之和 / 面积加权平均。

4 种表示技术

隐式（满足方程的点集）、参数化（用 t 描述）、特定类型（球 / 平面等）、显式（顶点列表）；每种适合不同任务。

§9.1；判别测试用隐式（点是否在内）；生成图元用参数化（t 取值）；碰撞用特定类型；渲染用显式。

线与射线

参数化 P(t) = P₀ + t d（t ∈ ℝ 为线，t ≥ 0 为射线）；2D 隐式 ax + by + c = 0（a² + b² = 1）。

§9.2；线-线 / 线-平面 / 线-三角形相交是图形基础运算。

球

中心 c + 半径 r；隐式 `

P −

² = r²` 或点积形式 P − c) · (P − c = r²。

§9.3；球-球 / 球-光线 / 球-AABB 相交是物理引擎基础。

AABB (轴对齐包围盒)

由 min / max 两点描述；与坐标轴对齐；碰撞检测 O(1)；变换后需重算（旋转后变 OBB）。

§9.4；八叉树 / BVH 加速碰撞用 AABB 做粗筛。

平面

隐式 n · x = d（n 是单位法向量、d 是原点到平面有符号距离）；三种定义：法向量 + 距离、三点法、最佳拟合。

§9.5；点-平面距离 `

n · p −

`；平面-三角形相交；视锥剔除。

三角形

3 顶点 + 边向量 e₁, e₂；面积 `

e₁ × e₂

/ 2`；重心坐标 (α, β, γ) 满足 α + β + γ = 1。

§9.6；3D 引擎几何基础；重心坐标用于纹理映射、shader 插值。

多边形

简单（无自交）/ 复杂；凸（任意两点连线在多边形内）/ 凹；3D 引擎几乎只用三角形（任意多边形可 三角剖分）。

§9.7；多边形法向量 = 各三角形法向量之和 / 面积加权平均。

二、详细笔记

2.1 4 种表示技术 (Representation Techniques)

What：4 种描述几何图元的方法——隐式、参数化、特定类型、显式。

Why：每种方法在不同任务上各有优势；选择合适的表示可大幅简化代码。

How：

表示形式

表示	形式
优势场景	隐式 (implicit)
满足 `f(P) = 0` 的所有 P 构成图元	判别测试（点是否在图元上）、求交、计算距离
参数化 (parametric)	`P(t) = …`，t 是参数
生成图元（取 t 值遍历）、光栅化	特定类型 (specific type)
球 / 平面 / 圆等专用数据结构	直接的几何运算（半径 / 法向量）
显式 (explicit)	顶点列表

优势场景

隐式 (implicit)

满足 f(P) = 0 的所有 P 构成图元

判别测试（点是否在图元上）、求交、计算距离

参数化 (parametric)

P(t) = …，t 是参数

生成图元（取 t 值遍历）、光栅化

特定类型 (specific type)

球 / 平面 / 圆等专用数据结构

直接的几何运算（半径 / 法向量）

显式 (explicit)

顶点列表

表示转换的工程实例

球：隐式 |P - c|² = r²（判测试）、参数化 P(u, v) = c + r · (cos u sin v, sin u sin v, cos v)（生成网格）。
平面：隐式 n · x = d（点-平面距离）、三点法（拟合）、"特定类型"（法向量 + 距离）、三角形列表（渲染）。

When：每设计一个新图元时考虑 4 种表示各自的成本；通常同时保留 2-3 种。

Example：3D 引擎中的"三角形"既存储为顶点（显式）、又存储为法向量（特定类型）、纹理坐标用重心坐标计算（参数化）。

2.2 线与射线 (Lines and Rays)

What：参数化 P(t) = P₀ + t d；线 t ∈ ℝ、射线 t ≥ 0、P₀ 是起点、d 是方向向量。

Why：光追、相机射线、碰撞检测、3D 拾取（鼠标点 → 3D 射线）的基础。

How：

参数化形式（§9.2）：

\[\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + t \mathbf{d}\]

2D 隐式形式（法线式）：

\[\mathbf{n} \cdot \mathbf{P} = d\]

其中 n = (a, b) 是单位法向量，d 是原点到线距离。

"射线"vs"线"

线（line）：t ∈ ℝ，双向无限。
射线（ray）：t ≥ 0，从起点出发单向。
线段（segment）：t ∈ [t₀, t₁]，有限长。图形 API 多用射线（相机拾取、光线追踪），物理引擎多用线段（碰撞边界）。

When：相机射线（拾取 / 光追）；碰撞检测（线 vs 三角形 / 球 / AABB）；曲线参数化（第 13 章）。

Example：P(t) = (1, 2, 3) + t · (0, 0, 1) = z 轴上从 (1, 2, 3) 出发的射线。

2.3 球与圆 (Spheres & Circles)

What：中心 c + 半径 r；隐式 |P − c|² = r²；点积形式 P − c) · (P − c = r²。

Why：3D 物理碰撞检测的最简单图元；点积形式避免了 sqrt 调用（平方距离比较）。

How：

隐式（§9.3）：

\[(\mathbf{P} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{P} - \mathbf{c}) = r^2\]

球-球碰撞（圆心距离 ≤ 半径之和）；球-AABB（§9.4）；球-光线（§10.4 二次方程）。

参数化（生成球面网格）：

\[\mathbf{P}(u, v) = \mathbf{c} + r (\cos u \sin v,\ \sin u \sin v,\ \cos v),\quad u \in [0, 2\pi],\ v \in [0, \pi]\]

点积形式的工程优势

判别"点是否在球内"用 P - c) · (P - c ≤ r² 比 |P - c| ≤ r 少一次 sqrt；批量判定时显著加速。

When：物理引擎的"球体碰撞器"；包围球（粗筛）；3D 拾取的"吸附"判定。

Example：点 (0, 0, 5) 是否在中心 (0, 0, 0)、半径 3 的球内？(0²+0²+5²) = 25 > 9，不在。

2.4 包围盒 AABB (Axis-Aligned Bounding Box)

What：与坐标轴对齐的长方体；由 min / max 两点描述（每轴独立的最小最大值）。

Why：碰撞检测 O(1) 判定；BVH / 八叉树加速结构的基础；内存友好（6 个数）。

How：

AABB 表示（§9.4.1）：

\[\mathbf{p}_{\min} = (x_{\min}, y_{\min}, z_{\min}),\quad \mathbf{p}_{\max} = (x_{\max}, y_{\max}, z_{\max}) \end{bmatrix}\]

或用中心 + 半边长 (c, e)：c = (pmin + pmax) / 2、e = (pmax - pmin) / 2。

AABB-AABB 相交（O(1)）：

\[\text{intersect} \iff \forall i \in \{x, y, z\}: p_{\max}^{A,i} \ge p_{\min}^{B,i} \land p_{\max}^{B,i} \ge p_{\min}^{A,i}\]

变换后重算（§9.4.4）：旋转后 AABB 变 OBB（Oriented BB）；若仍用 AABB 需重算 pmin/pmax（取旋转后所有顶点 min/max）。

AABB vs OBB vs 包围球

AABB：内存小（6 数）、碰撞快（O(1)）；缺点：旋转后不再紧贴物体。
OBB（Oriented BB）：紧贴旋转物体；内存 15 数（中心 + 3 正交基向量 + 3 半边长）；碰撞较慢。
包围球：内存 4 数（中心 + 半径）；旋转不变；缺点：长物体浪费空间。通常层级结构：AABB 粗筛 → OBB / 三角形细判。

When：BVH / 八叉树节点；物理引擎粗筛碰撞；UI 元素边界；2D 游戏的 sprite 边界。

Example：物体占据 [0, 0, 0] ~ [2, 3, 1]，AABB = { pmin = (0,0,0), pmax = (2,3,1) }。

2.5 平面 (Planes)

What：隐式 n · x = d（n 单位法向量、d 原点到平面有符号距离）；3 种定义：法向量 + 距离、三点法、最佳拟合。

Why：碰撞 / 物理 / 视锥剔除 / 镜像反射面都用平面；3D 引擎必备图元。

How：

隐式形式（§9.5.1）：

\[\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = d \end{bmatrix}\]

点-平面距离：

\[\text{distance} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{p} - d \end{bmatrix}\]

正数：点在法向量一侧；负数：另一侧。

三点定义平面（§9.5.2）：n = (B − A) × (C − A)、d = n · A（注意单位化 n）。

"法向量 + d"的便利

镜像反射：P' = P - 2(n · P - d) n。
投影到平面：P_proj = P - (n · P - d) n。
平面-平面交线 = 两平面法向量叉积方向上的直线。

When：物理碰撞平面（地面、墙）；视锥体 6 个面；水面 / 镜像面；CSG 几何运算。

Example：n = (0, 1, 0)、d = 0 即 xz 平面（地面）；点 (0, 5, 0) 在法向量一侧距离 5。

2.6 三角形 (Triangles)

What：3 顶点 + 边向量 e₁, e₂；面积 |e₁ × e₂| / 2；重心坐标 (α, β, γ) 满足 α + β + γ = 1。

Why：3D 引擎几何基础（GPU 渲染、碰撞、纹理映射）；硬件优化（光栅化针对三角形）。

How：

边向量（§9.6）：

\[\mathbf{e}_1 = P_1 - P_0,\quad \mathbf{e}_2 = P_2 - P_0 \end{bmatrix}\]

面积（§9.6.2）：

\[A = \frac{1}{2} \|\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2\| \end{bmatrix}\]

重心坐标（§9.6.3）：点 P 在三角形内 ⇔ P = α P₀ + β P₁ + γ P₂，α + β + γ = 1，α, β, γ ≥ 0。

法向量：

\[\mathbf{n} = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\|\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2\|} \end{bmatrix}\]

重心坐标的工程用途

纹理映射：顶点 UV 用重心坐标插值（仿射 / 透视校正）。
shader 插值：所有顶点属性（法向量、颜色）默认用重心坐标插值。
碰撞检测：点 vs 三角形 / 线段 vs 三角形都基于重心坐标。

When：3D 模型网格；GPU 渲染基本单元；物理碰撞；CSG；纹理映射。

Example：三角形顶点 (0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)。重心 (0.5, 0.3, 0.2) 对应点 (0.3, 0.2, 0)（在三角形内）。

2.7 多边形 (Polygons)

What：3+ 顶点的封闭图元；分简单（无自交）/ 复杂；凸（任意两点连线在多边形内）/ 凹。

Why：实际模型数据多边形数远超 3；3D 引擎几乎只用三角形（任意多边形可三角剖分）。

How：

分类（§9.7.1-§9.7.2）：

简单 vs 复杂：边界是否自交。
凸 vs 凹：任意两点连线是否在多边形内。
三角形化 / 扇形化（§9.7.3）：凹多边形必须先分解为凸子多边形再三角化。

法向量（任意多边形）：

\[\mathbf{n}_{\text{polygon}} = \sum_i A_i \mathbf{n}_i \end{bmatrix}\]

其中 A_i 是第 i 个三角形的面积、n_i 是其单位法向量。

多边形 vs 三角网格

3D 引擎 几乎不用 通用多边形——三角网格性能稳定、GPU 优化好。
数据导入阶段（FBX / glTF）把所有多边形三角剖分。
物理引擎（碰撞器）可用凸多边形；但渲染必须三角化。

When：模型导入；碰撞器构造（凸 vs 凹）；CSG 运算（Boolean 操作）。

Example：六边形（凸六边形）= 6 顶点；可分解为 4 个三角形（fan from first vertex）；3D 引擎只渲染这 4 个三角形。

三、关键图表

视觉图表

Figure 1. 图 9-1：4 种表示技术示意

Figure 2. 图 9-2：射线参数化

Figure 3. 图 9-3：球的几何

Figure 4. 图 9-4：AABB 与旋转后变 OBB

Figure 5. 图 9-5：平面（法向量 + d）

Figure 6. 图 9-6：三角形重心坐标

Figure 7. 图 9-7：凸 vs 凹多边形

非可视化条目

非可视化条目（表 / 算法）

编号

内容摘要

表 9.1

4 种表示技术对比（隐式 / 参数化 / 特定类型 / 显式）。

式 9-1 至 9-12

几何图元的核心公式：射线参数化、平面隐式、球面积、AABB 相交、重心坐标。

列表 9.1-9.x

C 代码：AABB 计算、平面定义、三角形面积、重心坐标求解。

表 9.2

"最佳拟合"平面算法（最小二乘法，3+ 点）。

核心公式对照表

图元

核心公式

射线参数化

\(\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + t \mathbf{d},\ t \ge 0\)

球隐式

\((\mathbf{P} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{P} - \mathbf{c}) = r^2\)

平面隐式

\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = d\)

AABB 相交

\(\forall i: p_{\max}^{A,i} \ge p_{\min}^{B,i} \land p_{\max}^{B,i} \ge p_{\min}^{A,i}\)

三角形面积

\(A = \frac{1}{2} |\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2|\)

重心坐标

\(\mathbf{P} = \alpha \mathbf{P}_0 + \beta \mathbf{P}_1 + \gamma \mathbf{P}_2,\ \alpha + \beta + \gamma = 1\)

三角形法向量

\(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{|\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2|}\)

四、思维导图

mindmap
  root((第 9 章 几何图元))
    4种表示
      隐式方程
      参数化
      特定类型
      显式顶点
    线与射线
      参数化
      隐式法线式
      拾取与光追
    球
      中心加半径
      点积形式
      物理碰撞
    AABB
      minmax两点
      O1碰撞
      变换后重算
    平面
      法向量加d
      点距离
      镜像反射
    三角形
      3顶点
      重心坐标
      面积
    多边形
      凸凹分类
      三角剖分
      法向量加权

五、重点与易错点

4 种表示各有用途：判别测试用隐式、生成用参数化、碰撞用特定类型、渲染用显式；不要把一种表示硬套到所有场景。
射线 vs 线 vs 线段：射线 t ≥ 0、线 t ∈ ℝ、线段 t ∈ [t₀, t₁]；3D 拾取用射线，光线追踪常用射线，碰撞边界用线段。
球的点积形式省一次 sqrt：批量判定"点是否在球内"用 P-c)·(P-c ≤ r² 比 |P-c| ≤ r 快。
AABB 旋转后变 OBB：若仍想用 AABB 必须重算 pmin/pmax（用旋转后所有顶点的 min/max）；BVH 中节点常用 AABB，但对象本身常用 OBB / 包围球。
平面法向量必须单位化：否则点-平面距离 n · p - d 不准；三点法构造平面后立即 n /= |n|。
三角形的"顶点顺序"决定正面：逆时针（行向量约定下左手系）通常为正面；背面剔除 / 透明排序据此判断。
重心坐标必须 α + β + γ = 1：三角形内点 ⇒ 三者均 ≥ 0；shader 用重心坐标插值所有顶点属性。
多边形法向量需面积加权：凹多边形简单平均法向量会抵消；必须用 Σ Aᵢ nᵢ。
*凹多边形必须先分解为凸子多边形*再三角化，否则扇形展开会出错。
跨章衔接：第 10 章用 AABB 构造视锥体、用平面构造视锥体 6 个面；第 11 章物理引擎用球 / AABB / 平面 / 三角形做碰撞；第 13 章曲线参数化是射线参数化的扩展。

第 9 章 几何图元 (Geometric Primitives)

核心结论

一、核心概念

二、详细笔记

2.1 4 种表示技术 (Representation Techniques)

2.2 线与射线 (Lines and Rays)

2.3 球与圆 (Spheres & Circles)

2.4 包围盒 AABB (Axis-Aligned Bounding Box)

2.5 平面 (Planes)

2.6 三角形 (Triangles)

2.7 多边形 (Polygons)

三、关键图表

视觉图表

非可视化条目

核心公式对照表

四、思维导图

五、重点与易错点

第 9 章几何图元 (Geometric Primitives)