第 5 章矩阵与线性变换 (Matrices and Linear Transformations)

核心结论

旋转 (rotation)：保持原点与距离；手性约定下"正方向"由对应手定则给出；2D 旋转一个角度参数、3D 旋转需要轴 + 角度。
缩放 (scale)：沿卡迪尔轴缩放是对角矩阵；反射是某轴缩放因子为负；非均匀缩放使原本正交基向量夹角改变。
正交投影 (orthographic projection)：把维度降一阶（3D → 2D）；投影方向垂直于投影平面；丢弃平行于投影方向的分量。
反射 (reflection)：沿轴 / 平面的镜像；本质是某轴 -1 缩放；行列式恒为 -1。
剪切 (shearing)：把矩形变成平行四边形；保持面积（行列式 = 1）但改变角度；italic / skew 文字效果的核心。
变换组合 = 矩阵乘法；顺序敏感（"先发生的事写在右边"）；可通过 §4.2 几何方法验证（看基向量去哪了）。
变换的分类树：线性 → 仿射（含平移的推广）→ 可逆（行列式 ≠ 0）→ 保角 → 正交（保长保角）→ 刚体（仅平移 + 旋转）；每层都是上一层的子集。

本章主旨

本章用第 4 章"行 = 变换后基向量"的工具，逐个推导 5 类基本线性变换的矩阵：旋转 / 缩放 / 投影 / 反射 / 剪切。把每一类看成"基向量目标"的设定——读者掌握"如何用基向量构造任意变换矩阵"的方法论。第 6 章升级到 4×4 齐次矩阵后，平移加入变换树。本章中段给出变换组合的规则（矩阵乘法），末段给出变换分类树（线性 → 仿射 → … → 刚体）。

一、核心概念

本章围绕 7 个核心概念展开：从 5 类基本线性变换出发（旋转 / 缩放 / 投影 / 反射 / 剪切），加上变换组合规则（矩阵乘法），最后给出变换分类树。

概念定义 + 重要性实现提示

概念	定义 + 重要性	实现提示
旋转 (rotation)	保持原点与距离不变的角度移动。2D 一个参数 θ、3D 需要轴 + 角度。手性决定正方向（左手顺时针 / 右手逆时针）。绕任意轴的旋转矩阵可分解为"平行分量不动 + 垂直分量在垂直平面内做 2D 旋转"。	§5.1.1 / §5.1.2 / §5.1.3；库函数 `rotate(axis, angle)` 直接给出。GLM 提供 `glm::rotate(M, θ, axis)`。
缩放 (scale)	沿某个轴拉长 / 缩短。沿卡迪尔轴 = 对角矩阵；对角元素为缩放因子。负因子 = 反射。	§5.2.1；均匀缩放（所有轴同因子）保持形状、不均匀缩放改变形状。沿任意方向缩放要构造投影 + 缩放 + 反投影矩阵。
正交投影 (orthographic projection)	把维度降一阶（3D → 2D）。投影方向垂直于投影平面。结果是"丢弃平行于投影方向的分量"。最常用：把 3D 投影到 xy 平面（去掉 z）。	§5.3；与"透视投影"（perspective）相对——透视投影保留深度信息，正交投影丢弃。CAD / 工程制图常用正交投影。
反射 (reflection)	沿某个轴 / 平面的镜像。行列式恒为 -1。本质 = 沿某轴 -1 缩放（其余方向 +1）。	§5.4；与旋转的区别：反射产生"手性反转"（左右颠倒），旋转保持手性。镜中物体是反射，不能用旋转重合。
剪切 (shearing)	把矩形变平行四边形，保持面积（行列式 = 1）但改变角度。常见用途：italic 字体、3D 投影中的 z 倾斜、shadow skew。	§5.5；与投影的区别：投影是"丢维度"，剪切是"维度不变但角度变"。
变换组合	多个原变换复合 = 矩阵乘法（顺序敏感）。先发生的事写在右边（行向量约定）。结合律保证可以链式复合。	§5.6；常见模式：`M = T * R * S`（缩放 → 旋转 → 平移）。验证方法：用 §4.2 "行 = 基向量"工具逐项检查。
变换分类树	6 类由宽到窄：linear（保直保平行，保原点） ⊂ affine（线性 + 平移） ⊂ invertible（det ≠ 0） ⊂ angle-preserving ⊂ orthogonal（保长保角，列正交） ⊂ rigid-body（仅平移 + 旋转）。每层是上一层的真子集。	§5.7；查表 §5.7.7。识别变换类别可快速判断其性质（如"行列式 < 0 ⇒ 不可保角 ⇒ 含反射"）。

旋转 (rotation)

保持原点与距离不变的角度移动。2D 一个参数 θ、3D 需要轴 + 角度。手性决定正方向（左手顺时针 / 右手逆时针）。绕任意轴的旋转矩阵可分解为"平行分量不动 + 垂直分量在垂直平面内做 2D 旋转"。

§5.1.1 / §5.1.2 / §5.1.3；库函数 rotate(axis, angle) 直接给出。GLM 提供 glm::rotate(M, θ, axis)。

缩放 (scale)

沿某个轴拉长 / 缩短。沿卡迪尔轴 = 对角矩阵；对角元素为缩放因子。负因子 = 反射。

§5.2.1；均匀缩放（所有轴同因子）保持形状、不均匀缩放改变形状。沿任意方向缩放要构造投影 + 缩放 + 反投影矩阵。

正交投影 (orthographic projection)

把维度降一阶（3D → 2D）。投影方向垂直于投影平面。结果是"丢弃平行于投影方向的分量"。最常用：把 3D 投影到 xy 平面（去掉 z）。

§5.3；与"透视投影"（perspective）相对——透视投影保留深度信息，正交投影丢弃。CAD / 工程制图常用正交投影。

反射 (reflection)

沿某个轴 / 平面的镜像。行列式恒为 -1。本质 = 沿某轴 -1 缩放（其余方向 +1）。

§5.4；与旋转的区别：反射产生"手性反转"（左右颠倒），旋转保持手性。镜中物体是反射，不能用旋转重合。

剪切 (shearing)

把矩形变平行四边形，保持面积（行列式 = 1）但改变角度。常见用途：italic 字体、3D 投影中的 z 倾斜、shadow skew。

§5.5；与投影的区别：投影是"丢维度"，剪切是"维度不变但角度变"。

变换组合

多个原变换复合 = 矩阵乘法（顺序敏感）。先发生的事写在右边（行向量约定）。结合律保证可以链式复合。

§5.6；常见模式：M = T * R * S（缩放 → 旋转 → 平移）。验证方法：用 §4.2 "行 = 基向量"工具逐项检查。

变换分类树

6 类由宽到窄：linear（保直保平行，保原点） ⊂ affine（线性 + 平移） ⊂ invertible（det ≠ 0） ⊂ angle-preserving ⊂ orthogonal（保长保角，列正交） ⊂ rigid-body（仅平移 + 旋转）。每层是上一层的真子集。

§5.7；查表 §5.7.7。识别变换类别可快速判断其性质（如"行列式 < 0 ⇒ 不可保角 ⇒ 含反射"）。

二、详细笔记

2.1 旋转 (Rotation)

What：保持原点与距离的角度移动。2D 一个参数 θ（绕原点），3D 需要轴 + 角度（绕该轴旋转）。

Why：3D 图形 90% 的"动画 / 朝向"问题都涉及旋转；旋转矩阵是后续四元数 / 欧拉角（第 8 章）的代数基础。

How：

2D 旋转（§5.1.1）——绕原点逆时针 θ：

\[\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]

推导：把基向量 +x 与 +y 旋转 θ 后坐标 = (cosθ, sinθ) 与 (-sinθ, cosθ)，写进矩阵行。

3D 旋转——绕卡迪尔轴（§5.1.2）：

\[\mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix},\quad \mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix},\quad \mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

约定：绕哪条轴旋转，哪条轴对应行不变（行向量约定下，行 = 基向量）。

3D 旋转——绕任意轴（§5.1.3）：

设单位轴 n̂、角度 θ。把向量 v 分解为 v∥ = (v · n̂) n̂（平行分量）与 v⊥ = v - v∥（垂直分量）；绕 n̂ 旋转等价于"v∥ 不动 + v⊥ 在垂直平面内做 2D 旋转"。旋转后：

\[\mathbf{v}' = \mathbf{v}_{\parallel} + \cos\theta \mathbf{v}_{\perp} + \sin\theta (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{v}_{\perp})\]

展开为矩阵（Rodrigues 旋转公式）：

\[\mathbf{R}(\hat{\mathbf{n}}, \theta) = \begin{bmatrix} c + n_x^2(1-c) & n_x n_y(1-c) + n_z s & n_x n_z(1-c) - n_y s \\ n_x n_y(1-c) - n_z s & c + n_y^2(1-c) & n_y n_z(1-c) + n_x s \\ n_x n_z(1-c) + n_y s & n_y n_z(1-c) - n_x s & c + n_z^2(1-c) \end{bmatrix}\]

其中 c = cosθ, s = sinθ。

手性差异在旋转矩阵中的体现

绕 y 轴旋转矩阵中 R_y 第 1 行第 3 列是 -sinθ，与 R_x, R_z 不同——因为本书左手系下 +y 指向"上"，绕 +y 旋转时基向量 "跨过" xz 平面时符号与其他轴相反。该差异仅来自手性约定；跨引擎时若矩阵出现此差异，应首先检查坐标手性。

When：所有朝向动画（角色 / 相机 / 光源）；物理引擎中的刚体朝向更新。

Example：R_z(90°) 把 +x 转到 +y；R_z(-90°) 把 +x 转到 -y。

2.2 缩放 (Scale)

What：沿某个轴拉长 / 缩短。沿卡迪尔轴 = 对角矩阵；对角元素为缩放因子。

Why：建模（物体大小调整）、动画（弹性缩放）、UI（屏幕适配）、shader 调试（暂时缩到 0 隐藏某组件）。

How：

沿卡迪尔轴缩放（§5.2.1）：

\[\mathbf{S}(k_x, k_y, k_z) = \begin{bmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & k_z \end{bmatrix}\]

几何解释：行向量约定下，矩阵第 1 行 +x → (kx, 0, 0)；第 2 行 +y → (0, ky, 0)；第 3 行 +z → (0, 0, kz)。

沿任意方向缩放（§5.2.2）：构造 投影 → 缩放 → 反投影 复合矩阵 M = P⁻¹ S P，其中 P 把任意方向对齐到某轴上。

负缩放 = 反射（§5.4）：某因子 < 0 时该方向翻转。

行列式判断"反射存在"

缩放矩阵行列式 = kx · ky · kz。若 ≥ 0 ⇒ 无反射（保手性）；若 < 0 ⇒ 含反射（手性翻转）。这是 §5.7 变换分类的快捷判断之一。

When：模型导入时的单位统一（FBX 常用 cm，游戏常用 m）；UI 缩放；shader 调试。

Example：S(2, 1, 1) 把所有 x 坐标乘 2，物体在 x 方向被拉伸 2 倍；S(1, -1, 1) = 沿 xz 平面反射（左右颠倒）。

2.3 正交投影 (Orthographic Projection)

What：把维度降一阶（3D → 2D）。投影方向垂直于投影平面，结果是"丢弃平行于投影方向的分量"。

Why：3D → 2D 屏幕渲染的第一阶段；CAD / 工程制图保留尺寸；与"透视投影"（保留深度）相对。

How：

投影到卡迪尔平面（§5.3.1）：

投影到 xy 平面（丢 z）：P_xy = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]
投影到 xz 平面（丢 y）：P_xz = [[1, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 1]]
投影到 yz 平面（丢 x）：P_yz = [[0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

投影到任意平面（§5.3.2）：构造 基变换 → 投影 → 反基变换。

正交投影 vs 透视投影

正交投影：平行线保持平行；近大远小不变；用于工程制图、UI、2D 等距游戏。
透视投影：平行线收敛到消失点；近大远小；用于真实感渲染。第 10 章详细展开透视投影。

When：CAD / 工程图；2D 等距游戏渲染；shadow map 第一阶段（深度投影）。

Example：把 (1, 2, 3) 投影到 xy 平面 = (1, 2, 0)；常用于把 3D 鼠标位置投影回 2D 屏幕。

2.4 反射 (Reflection)

What：沿某个轴 / 平面的镜像。行列式恒为 -1。本质 = 沿某轴 -1 缩放（其余方向 +1）。

Why：理解镜像变换是手性翻转的几何来源；镜中物体不可通过旋转重合（数学上证明：反射矩阵行列式为 -1，旋转矩阵行列式为 +1）。

How：

反射矩阵（沿某个平面 / 轴）：

沿 yz 平面（沿 x 翻转）：Refl_x = [[-1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]（行列式 = -1）
沿 xz 平面：行 [1, -1, 1] 对角。
沿 xy 平面：行 [1, 1, -1] 对角。
沿任意平面反射：构造 基变换 → 反射 → 反基变换。

反射矩阵 vs 旋转矩阵

反射：行列式 = -1；改变手性（左 ↔ 右互换）。
旋转：行列式 = +1；保持手性。

把右手坐标系下的矩阵直接搬到左手系，会从旋转"变成"反射（或反过来）。

When：镜子渲染；3D 物理中的"完全弹性碰撞"对称面；shadow plane 的镜像映射。

Example：Refl_x 把 (1, 2, 3) 变为 (-1, 2, 3)。

2.5 剪切 (Shearing)

What：把矩形变平行四边形，保持面积（行列式 = 1）但改变角度。

Why：italic 字体 / shadow skew / 3D 投影中 z 倾斜 / 图像变形。

How：

2D 剪切（沿 x 方向斜切，y 影响 x）：

\[\mathbf{H}_x(s) = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

3D 剪切有 6 种组合（每个轴对每个轴的剪切），典型如：

\[\mathbf{H}_{xy}(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

即 x' = x + s·y；y, z 不变。其它类似。

行列式判断"是否剪切"

剪切矩阵行列式 = 1（保持面积 / 体积）。与缩放、旋转不同——剪切既不改变大小也不改变垂直性，但破坏角度。

When：italic 字体（沿 x 斜切）；shadow skew（CSS transform: skew(20deg)）；3D 投影（错切矩阵模拟透视）。

Example：H_x(0.5) 把矩形 (0,0)-(1,1) 变为 (0,0)-(1.5,1)——x 方向被 y "拉"。

2.6 变换组合 (Combining Transformations)

What：多个原变换复合 = 矩阵乘法（顺序敏感）。先发生的事写在右边（行向量约定）。

Why：复合变换是 3D 引擎的核心——一个物体的最终位姿 = 平移 × 旋转 × 缩放；理解顺序才能避免"先缩放后平移"与"先平移后缩放"导致的位置偏移 bug。

How：

复合规则（§5.6，行向量约定）：

\[\mathbf{v}_{\text{world}} = \mathbf{v}_{\text{local}} \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{T}\]

其中 S = 缩放、R = 旋转、T = 平移。

顺序解读：从 v_local 开始，先应用 S（缩放），再 R（旋转），再 T（平移）——但矩阵写在右边的先发生。

"先发生的事写在右边"的反直觉

直觉上"先缩放，再旋转，再平移"对应 T · R · S，但行向量约定下要写 S · R · T（最后一个矩阵最先作用于向量）。这不是 bug，是数学定义的结果。

When：场景图中所有父子变换链；相机栈；UI 层级变换。

Example：物体"先缩放为 2 倍再绕原点旋转 45° 再平移 (10, 0, 0)" = T(10,0,0) · R_z(45°) · S(2)，应用顺序为 v → S(2) → R_z(45°) → T(10,0,0)。

2.7 变换分类树 (Classes of Transformations)

What：6 类由宽到窄的变换——linear ⊂ affine ⊂ invertible ⊂ angle-preserving ⊂ orthogonal ⊂ rigid-body。每层是上一层的真子集。

Why：识别变换类别可快速判断其性质（"行列式 < 0 ⇒ 不可保角 ⇒ 含反射"），避免逐个矩阵检查。

How：

§5.7 分类树（每层是新约束 + 上层所有约束）：

linear（线性变换）：保直保平行，保原点；3×3 矩阵。
affine（仿射变换）：linear + 平移；3×3 矩阵不够，需 4×4 齐次（第 6 章）。
invertible（可逆变换）：行列式 ≠ 0；存在逆变换。
angle-preserving（保角变换）：保持向量间夹角；行列式 > 0（不允许反射）。
orthogonal（正交变换）：保长保角；矩阵列正交且单位长。
rigid-body（刚体变换）：仅平移 + 旋转；保长保角保手性；矩阵 = 平移 × 旋转。

6 类变换的快速判定

linear：3×3 矩阵可表达。
affine：第 4 行 / 列 [0, 0, 0, 1]（4×4 齐次）。
invertible：det ≠ 0。
angle-preserving：det > 0。
orthogonal：列向量两两正交且单位长（行向量约定下行也满足）；矩阵的逆 = 转置。
rigid-body：orthogonal + det = +1（无反射）。

When：判断变换是否可逆、是否保手性、是否可用于物理引擎（rigid-body 用于刚体仿真）。

Example：S(2, 1, 1) 是 linear（det = 2）；S(2, -1, 1) 是 linear 但非 angle-preserving（det < 0 含反射）；S(2, 1, 1) + 平移 是 affine；T(1, 0, 0) · R_z(45°) 是 rigid-body。

三、关键图表

视觉图表

Figure 1. 图 5-1：2D 旋转（绕原点）

Figure 2. 图 5-2：绕 x 轴 3D 旋转

Figure 3. 图 5-3：绕 y 轴 3D 旋转

Figure 4. 图 5-4：绕 z 轴 3D 旋转

Figure 5. 图 5-5：绕任意轴旋转（向量分解 + 2D 旋转）

Figure 6. 图 5-6：缩放前后对比

Figure 7. 图 5-7：任意方向缩放

Figure 8. 图 5-8：投影到平面（3D → 2D）

Figure 9. 图 5-9：反射

非可视化条目

非可视化条目（表 / 算法）

编号内容摘要

式 5-1

绕任意轴 n̂ 旋转 θ 的 Rodrigues 旋转公式完整矩阵（含 c = cosθ, s = sinθ）。

表 5.1

6 类变换的对比表（线性 / 仿射 / 可逆 / 保角 / 正交 / 刚体），列出每类的判别条件与不变量。

核心公式对照表

变换

矩阵（行向量约定）

2D 旋转

\(\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)

3D 旋转（绕 x）

\(\mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)

缩放（沿卡迪尔轴）

\(\mathbf{S}(k_x, k_y, k_z) = \begin{bmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & k_z \end{bmatrix}\)

投影（到 xy 平面）

\(\mathbf{P}_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

反射（沿 yz 平面）

\(\mathbf{R}_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

剪切（xy 方向）

\(\mathbf{H}_{xy}(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

复合（行向量）

\(\mathbf{v}' = \mathbf{v} \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{T}\)（先 S、再 R、再 T）

四、思维导图

mindmap
  root((第 5 章 矩阵与线性变换))
    旋转
      2D绕原点
      3D卡迪尔轴
      3D任意轴
      Rodrigues公式
    缩放
      沿卡迪尔轴
      任意方向
      负缩放即反射
    正交投影
      3D转2D
      平行线保持
      丢垂直分量
    反射
      沿轴或平面
      行列式-1
      改变手性
    剪切
      矩形变平行四边形
      行列式1
      italic效果
    变换组合
      矩阵乘法
      顺序敏感
      先发生写在右
    变换分类树
      线性
      仿射
      可逆
      保角
      正交
      刚体

五、重点与易错点

手性决定旋转方向：左手系绕轴正方向旋转是顺时针，右手系是逆时针；跨引擎搬运旋转矩阵时第一件事是验证手性。
Rodrigues 公式的轴必须是单位向量：非单位向量需要预先 normalize，否则旋转角度会按比例放大。
缩放矩阵对角元素 = 缩放因子；非对角元素 = 0；负因子 = 反射。
行列式 = 缩放因子的乘积：det = kx · ky · kz；负值说明含反射。
正交投影 vs 透视投影：正交保持平行线；透视使平行线收敛；CAD 用前者，电影渲染用后者。
反射改变手性：镜中物体不能通过旋转重合；本质是行列式 -1。
剪切保持行列式 = 1：与缩放不同，剪切不改变大小，但破坏角度。
变换组合顺序敏感：T · R ≠ R · T；先缩放再平移 ≠ 先平移再缩放；行向量约定下"先发生写在右"。
6 类变换的真子集关系：rigid-body ⊂ orthogonal ⊂ angle-preserving ⊂ invertible ⊂ affine ⊂ linear；rigid-body 是最严苛的（仅平移 + 旋转）。
正交矩阵的关键性质：M^T · M = I，即 M^T = M^{-1}；这是 §6 章正交矩阵逆变换的核心。
跨章衔接：第 6 章把"线性变换 + 平移"封装为 4×4 齐次矩阵；第 8 章把旋转矩阵推广为欧拉角 / 四元数 / 轴角；第 10 章用本节矩阵组合构造视图矩阵 + 投影矩阵。

第 5 章 矩阵与线性变换 (Matrices and Linear Transformations)

核心结论

一、核心概念

二、详细笔记

2.1 旋转 (Rotation)

2.2 缩放 (Scale)

2.3 正交投影 (Orthographic Projection)

2.4 反射 (Reflection)

2.5 剪切 (Shearing)

2.6 变换组合 (Combining Transformations)

2.7 变换分类树 (Classes of Transformations)

三、关键图表

视觉图表

非可视化条目

核心公式对照表

四、思维导图

五、重点与易错点

第 5 章矩阵与线性变换 (Matrices and Linear Transformations)