2.1 参数化多项式曲线 (Parametric Polynomial Curves)
What：P(t) 是 t 的多项式；t ∈ [0, 1] 描述曲线从起点到终点。
Why：三次曲线是"最低可控度"——给定端点 + 切线即确定；高次曲线数值不稳定。
\[\mathbf{P}(t) = \mathbf{a}_0 + \mathbf{a}_1 t + \mathbf{a}_2 t^2 + \mathbf{a}_3 t^3 + \ldots
\end{bmatrix}\]
\[\mathbf{P}(t) = \mathbf{a}_0 + \mathbf{a}_1 t + \mathbf{a}_2 t^2 + \mathbf{a}_3 t^3
\end{bmatrix}\]
4 个系数向量 = 4 个自由度 = "端点 + 端点切线 + 端点二阶导"。
\[\mathbf{P}(0) = \mathbf{a}_0,\quad \mathbf{P}(1) = \mathbf{a}_0 + \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3
\end{bmatrix>
[latexmath]\]
\mathbf{P}'(0) = \mathbf{a}_1,\quad \mathbf{P}'(1) = \mathbf{a}_1 + 2\mathbf{a}_2 + 3\mathbf{a}_3
\end{bmatrix>
\[[NOTE]
.为什么是三次？
====
* 一次：直线（无灵活性）。
* 二次：抛物线（1 个弯但不能控制形状）。
* 三次：可控制端点位置 + 端点切线（"最低可控度"）——设计友好。
* 四次及以上：参数过多、形状难控、数值不稳定。
====
*When*：所有平滑轨迹；动画路径；UI 缓动；字体轮廓。
*Example*：直线是 1 次曲线（线性参数化）；3D 平滑轨迹常用 3 次（4 个自由度）。
=== 2.2 多项式插值 (Polynomial Interpolation)
*What*：求一个多项式使其穿过指定点；N+1 个点决定 N 次多项式。
*Why*：从数据点构造平滑曲线的基础；CAD / 数据可视化。
*How*：
Aitken 递归算法（§13.2.1）：从线性插值开始，逐步升高阶数——`pᵢⱼ(t)` = 在区间 `[i, j]` 上的插值。
Lagrange 基多项式（§13.2.2）：
[latexmath]\]
\mathbf{P}(t) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{P}_i \prod_{j \ne i} \frac{t - t_j}{t_i - t_j}
\end{bmatrix}
每个控制点有一个基多项式 `Lᵢ(t)`，所有 `Lᵢ(tᵢ) = 1`、`Lᵢ(tⱼ) = 0`。
[NOTE]
.Aitken vs Lagrange
====
* Aitken：递归实现（数值稳定、计算量 O(n²)）；适合动态加点。
* Lagrange：直接构造（公式漂亮、但数值不稳定）；适合离线计算。
====
*When*：数据点 → 平滑曲线；地形插值；动画关键帧（不常用——更适合用 Catmull-Rom）。
*Example*：4 点 `(0,0)`、`(1,3)`、`(2,2)`、`(3,5)` 决定 3 次插值多项式。
=== 2.3 Hermite 曲线 (Hermite Curves)
*What*：两端点 + 两端点切线定义的三次曲线。
*Why*：几何直观——"起点 / 终点 + 起点 / 终点方向"即可确定；动画路径规划理想。
*How*：
定义（§13.3）：
[latexmath]
\mathbf{P}(0) = \mathbf{P}_0,\quad \mathbf{P}(1) = \mathbf{P}_1
\end{bmatrix>
\[\mathbf{P}'(0) = \mathbf{T}_0,\quad \mathbf{P}'(1) = \mathbf{T}_1
\end{bmatrix]\]
\[\mathbf{P}(t) = \begin{bmatrix} 1 & t & t^2 & t^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{P}_0 \\ \mathbf{T}_0 \\ \mathbf{P}_1 \\ \mathbf{T}_1 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}\]
|
|
Hermite 曲线的几何意义
-
端点：P₀ 与 P₁ 是曲线必经的点。
-
切线：T₀ 与 T₁ 是曲线在端点处的方向。
-
4 个自由度确定唯一三次曲线。
|
When：动画路径（设计师指定起点 / 终点 + 进入 / 离开方向）；碰撞响应轨迹；IK 关节插值。
Example：从 (0,0) 出切线 (1,0) 到 (1,1) 出切线 (0,1) 终点——曲线类似"半圆"。
2.4 Bézier 曲线 (Bézier Curves)
What：端点 + 控制点定义的三次曲线；控制点不穿过曲线但影响形状。
Why：设计工具事实标准（Photoshop 钢笔工具、Illustrator 路径、字体轮廓）——设计师友好。
\[\mathbf{P}(t) = (1-t)^3 \mathbf{P}_0 + 3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1 + 3(1-t) t^2 \mathbf{P}_2 + t^3 \mathbf{P}_3
\end{bmatrix}\]
其中 P₀, P₃ 是端点，P₁, P₂ 是控制点（不穿过曲线）。
de Casteljau 算法（§13.4.1）：递归线性插值求值：
\[\mathbf{Q}_0 = (1-t) \mathbf{P}_0 + t \mathbf{P}_1
\end{bmatrix>
[latexmath]\]
\mathbf{Q}_1 = (1-t) \mathbf{P}_1 + t \mathbf{P}_2,\quad \mathbf{Q}_2 = (1-t) \mathbf{P}_2 + t \mathbf{P}_3
\end{bmatrix>
\[\mathbf{R}_0 = (1-t) \mathbf{Q}_0 + t \mathbf{Q}_1,\quad \mathbf{R}_1 = (1-t) \mathbf{Q}_1 + t \mathbf{Q}_2
\end{bmatrix>
[latexmath]\]
\mathbf{P}(t) = (1-t) \mathbf{R}_0 + t \mathbf{R}_1
\end{bmatrix>
\[[NOTE]
.Bernstein 多项式性质
====
* 凸包：曲线在控制点凸包内（设计安全——曲线不会"飞出去"）。
* 端点插值：`P(0) = P₀, P(1) = P₃`。
* 端点切线：`P'(0) ∝ (P₁ − P₀)`、`P'(1) ∝ (P₃ − P₂)`。
* 对称性：`P(t) from [P₀, P₁, P₂, P₃] 与 P(1-t) from [P₃, P₂, P₁, P₀]` 相同。
====
*When*：矢量图形（字体 / 图标 / UI）；Bézier surface 是 3D 模型的标准表面（曲面）；动画过渡。
*Example*：Photoshop 钢笔工具画曲线时，每个"把手"就是一个 Bézier 控制点。
=== 2.5 细分 (Subdivision)
*What*：用 de Casteljau 把曲线分成两段；用于自适应渲染与几何细分。
*Why*：GPU 渲染三角形需要把曲线离散为多段；细分保证足够精度又不浪费。
*How*：
中点细分（§13.5）：
[latexmath]\]
\mathbf{P}(1/2) = \text{de Casteljau at } t = 1/2
\end{bmatrix]
de Casteljau 递归结果天然给出两端点处的"细分控制点"——可直接构造左右两段曲线。
[NOTE]
.细分的级联
====
* 一次细分：1 段 → 2 段。
* 二次细分：2 段 → 4 段。
* n 次细分：1 段 → 2ⁿ 段。
* 每次细分增加 1 阶精度；4-5 次细分可达亚像素精度。
====
*When*：Bézier 曲线离散化；曲线渲染（GPU 输入）；地形 / 角色轮廓自适应 LOD。
*Example*：CAD 中绘制 Bézier 曲线时细分 4-5 次得到 ~16-32 段直线近似。
=== 2.6 样条 (Splines)
*What*：多段曲线的拼接；每段是独立曲线（Hermite / Bézier），在连接处满足连续性条件。
*Why*：长曲线（角色路径 / 字体轮廓）需用样条；单段三次曲线无法表达复杂形状。
*How*：
拼接结构：
[source,mermaid]
----
flowchart LR
A[段1: Hermite] --> B[连接点 P1]
B --> C[段2: Hermite]
C --> D[连接点 P2]
D --> E[段3: Hermite]
E --> F[连接点 P3]
F --> G[段4: Hermite]
----
连续性条件（§13.8）：
* *C⁰ 连续*：位置连续 `P_left(1) = P_right(0)`。
* *C¹ 连续*：切线连续 `P'_left(1) = P'_right(0)`（方向 + 大小一致）。
* *C² 连续*：曲率连续 `P''_left(1) = P''_right(0)`。
* *G¹ / G²*：仅方向连续 / 曲率方向连续。
[NOTE]
.连续性的工程取舍
====
* *C⁰*：段间有"折角"——路径可见的不连续。适合分段动画。
* *C¹*：视觉上"光滑"——动画路径的标准。
* *C²*：曲率连续——高速运动（车辆 / 飞机）需要。
* 更高阶（G³+）：实现复杂、应用少。
====
*When*：长曲线（角色路径、字体、CAD）；高速运动轨迹（车辆、飞机）。
*Example*：NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）是工业 CAD 标准；B-Spline 是 Bézier 的推广。
=== 2.7 自动切线控制 (Automatic Tangent Control)
*What*：根据相邻控制点自动生成 Hermite 切线——设计师只需给"经过的点"，无需指定切线。
*Why*：设计师友好——大多数情况下"端点 + 切线"是反直觉的；只需给离散点更自然。
*How*：
Catmull-Rom 样条（§13.9.1）：
[latexmath]
\mathbf{T}_i = \frac{\mathbf{P}_{i+1} - \mathbf{P}_{i-1}}{2}
\end{bmatrix>
\[切线 = 相邻控制点差分的一半；曲线穿过所有控制点。
基数样条（Cardinal spline，§13.9.2）：Catmull-Rom 的推广，加一个 *张力参数 t* 控制曲线"紧度"。
B-Spline：曲线 *不穿过* 控制点（仅"接近"）；更平滑但更难预测。
[NOTE]
.Catmull-Rom vs B-Spline
====
* *Catmull-Rom*：穿过所有控制点（interpolating）；适合动画路径（物体经过每个关键帧）。
* *B-Spline*：不穿过控制点（approximating）；适合字体 / CAD 表面。
* *NURBS*：B-Spline 加非均匀节点（non-uniform knot）+ 有理（rational）权重——最灵活但最复杂。
====
*When*：动画路径（Catmull-Rom 是事实标准）；角色动作插值；地形 / 字体（B-Spline / NURBS）。
*Example*：Maya / Blender 中"通过控制点的曲线"通常用 Catmull-Rom；Maya 的"NURBS 表面"用 NURBS。
== 三、关键图表
=== 视觉图表
.图 13-1：参数化曲线（P(t) 随 t 变化）
image::fig-13-1.png[图 13-1, 600]
.图 13-2：Hermite 曲线（端点 + 切线）
image::fig-13-2.png[图 13-2, 800]
.图 13-3：Bézier 曲线（控制点影响形状）
image::fig-13-3.png[图 13-3, 800]
.图 13-4：de Casteljau 算法
image::fig-13-4.png[图 13-4, 800]
.图 13-5：曲线细分（中点插入）
image::fig-13-5.png[图 13-5, 800]
.图 13-6：样条拼接（C⁰ / C¹ / C² 连续性）
image::fig-13-6.png[图 13-6, 800]
.图 13-7：Catmull-Rom 自动切线
image::fig-13-7.png[图 13-7, 800]
=== 非可视化条目
[NOTE]
.非可视化条目（表 / 算法）
====
[cols="1,3", options="header"]
|===
| 编号 | 内容摘要
| 式 13-1
| 单位圆的参数化：`x = cos(2πt), y = sin(2πt)`。
| 式 13-2 至 13-10
| Hermite 基矩阵、Bernstein 基多项式、Bézier 求值。
| 列表 13.1-13.x
| C 代码：Aitken 递归插值、de Casteljau 求值、Catmull-Rom 样条。
| 表 13.1
| 4 类曲线的对比（隐式 / 参数化 / 特定类型 / 显式）。
|===
====
=== 核心公式对照表
[NOTE]
.核心公式对照表
====
[cols="1,3", options="header"]
|===
| 概念 | 公式
| 三次多项式
a| latexmath:[\mathbf{P}(t) = \mathbf{a}_0 + \mathbf{a}_1 t + \mathbf{a}_2 t^2 + \mathbf{a}_3 t^3]
| Hermite 矩阵
a| latexmath:[\mathbf{P}(t) = \begin{bmatrix} 1 & t & t^2 & t^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{P}_0 \\ \mathbf{T}_0 \\ \mathbf{P}_1 \\ \mathbf{T}_1 \end{bmatrix}]
| 三次 Bézier
a| latexmath:[\mathbf{P}(t) = (1-t)^3 \mathbf{P}_0 + 3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1 + 3(1-t) t^2 \mathbf{P}_2 + t^3 \mathbf{P}_3]
| Bernstein 基
a| latexmath:[B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1-t)^{n-i} t^i]
| Catmull-Rom 切线
a| latexmath:[\mathbf{T}_i = \frac{\mathbf{P}_{i+1} - \mathbf{P}_{i-1}}{2}]
| de Casteljau
a| latexmath:[\mathbf{Q}_i = (1-t) \mathbf{P}_i + t \mathbf{P}_{i+1}]（递归线性插值）
|===
====
== 四、思维导图
[source,mermaid]
----
mindmap
root((第 13 章 三维曲线))
参数化多项式
P与t
三次最常用
4自由度
多项式插值
Aitken递归
Lagrange基
数据拟合
Hermite
端点加切线
几何直观
动画路径
Bezier
端点加控制点
deCasteljau
凸包性质
细分
中点插入
级联LOD
渲染离散化
样条
多段拼接
C0C1C2
NURBS
自动切线
CatmullRom
Cardinal
设计师友好
----
== 五、重点与易错点
. *三次是"最低可控度"*：四次及以上数值不稳定、形状难控；游戏 / 图形几乎只用三次曲线。
. *Hermite vs Bézier*：Hermite 由端点 + 切线定义（动画规划）；Bézier 由端点 + 控制点定义（设计工具）；两者可互转。
. *Bézier 控制点不穿过曲线*：仅"拉"曲线靠近；曲线在控制点凸包内（设计安全）。
. *de Casteljau 是数值稳定的求值方法*：直接用 Bernstein 公式求值在 t 接近 0 或 1 时可能丢精度；de Casteljau 始终稳定。
. *Catmull-Rom 穿过所有控制点*：适合动画路径；B-Spline 不穿过但更平滑。
- *C⁰ / C¹ / C² 连续性的视觉差异*：C⁰ = 折角、C¹ = 光滑、C² = 曲率连续；动画路径通常 C¹ 即可，高速运动需 C²。
- *细分的级联*：每次细分加 1 阶精度；4-5 次细分可达亚像素精度。
- *Lagrange 数值不稳定*：高次多项式插值有 Runge 现象；Aitken / B-Spline 更稳定。
- *Cardinal spline 的张力参数*：t 越大曲线越"紧"（接近折线）、t 越小越"松"（接近 Catmull-Rom）。
- *NURBS 是工业标准*：汽车 / 飞机 / 船舶设计；非均匀节点 + 有理权重提供最大灵活性。
- *跨章衔接*：第 8 章四元数与本章 slerp 配合做曲线插值（朝向过渡）；第 9 章几何图元的"参数化表示"是本章的具体应用；第 10 章 Bézier surface 是 3D 模型的曲面标准。\]