第 11 章力学 1：直线运动学与微积分 (Mechanics 1: Linear Kinematics and Calculus)

核心结论

基本物理量与单位：时间 (s)、距离 (m)、速度 (m/s)、加速度 (m/s²)；单位换算用比例（如 1 m = 3.28083 ft）。
平均速度 vs 瞬时速度：平均速度 = 位移 / 时间；瞬时速度 = 时间窗口 → 0 时的极限 = 导数。
导数 (derivative)：函数在某点的瞬时变化率；多项式求导 d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹、三角函数求导 d(sin)/dx = cos。
加速度 (acceleration)：速度的导数；恒定加速度下运动学 5 公式 (SUVAT)。
积分 (integral)：微分的逆运算；定积分 = 曲线下面积；不定积分 = 反导数；基本积分公式。
匀速圆周运动：向心加速度 a_c = v² / r = ω² r；速度方向沿切线、加速度方向指向圆心。

本章主旨

本章把"运动学"（位置 / 速度 / 加速度）与"微积分"（导数 / 积分）交织讲解——这是本书最贴近中学物理 + 大学初阶微积分的章节。3D 图形读者尤其要关注"导数 = 速度"、"积分 = 面积 / 累积量"这两条核心直觉——这是物理引擎的"位置 / 速度 / 加速度"循环的基础。

一、核心概念

本章围绕 6 个核心概念展开：从基本物理量与单位出发，引入平均速度与瞬时速度的区别，再定义导数（瞬时变化率），拓展到加速度与恒定加速度运动学，最后给积分作为微分的逆运算。

概念定义 + 重要性实现提示

概念	定义 + 重要性	实现提示
基本物理量与单位	时间 t (s)、距离 d (m)、速度 v (m/s)、加速度 a (m/s²)、质量 m (kg)；单位换算靠比例（1 m = 3.28083 ft）。	§11.2；物理引擎统一 SI 单位（m, kg, s），UI 显示再换算。
平均速度 vs 瞬时速度	平均 `v_avg = Δd / Δt`；瞬时 `v(t) = lim Δt→0 Δd/Δt = d’d'`——核心是极限。	§11.3-§11.4；导数的物理意义就是瞬时速度。
导数 (derivative)	函数在某点的瞬时变化率；几何 = 切线斜率。多项式 `d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹`、三角函数 `d(sin x)/dx = cos x`。	§11.4；游戏物理循环 `x += v * dt; v += a * dt` 即一阶积分。
加速度	速度的导数 `a = dv/dt`；恒定加速度下 5 公式（位移、速度、加速度、时间、初速度）。	§11.5-§11.6；游戏重力 = 9.8 m/s² 向下；牛顿第二定律 `F = ma` 用于受力。
积分 (integral)	微分的逆运算；定积分 = 曲线下面积；不定积分 = 反导数。多项式 `∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C`。	§11.7；恒定速度下位移 = 速度 × 时间；变速度下用积分。
匀速圆周运动	速度大小不变、方向沿切线；向心加速度 `a_c = v²/r = ω²r` 指向圆心；周期 `T = 2π/ω`。	§11.8；卫星 / 车轮 / 飞行盘旋的物理基础。

基本物理量与单位

时间 t (s)、距离 d (m)、速度 v (m/s)、加速度 a (m/s²)、质量 m (kg)；单位换算靠比例（1 m = 3.28083 ft）。

§11.2；物理引擎统一 SI 单位（m, kg, s），UI 显示再换算。

平均速度 vs 瞬时速度

平均 v_avg = Δd / Δt；瞬时 v(t) = lim Δt→0 Δd/Δt = d’d'——核心是极限。

§11.3-§11.4；导数的物理意义就是瞬时速度。

导数 (derivative)

函数在某点的瞬时变化率；几何 = 切线斜率。多项式 d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹、三角函数 d(sin x)/dx = cos x。

§11.4；游戏物理循环 x += v * dt; v += a * dt 即一阶积分。

加速度

速度的导数 a = dv/dt；恒定加速度下 5 公式（位移、速度、加速度、时间、初速度）。

§11.5-§11.6；游戏重力 = 9.8 m/s² 向下；牛顿第二定律 F = ma 用于受力。

积分 (integral)

微分的逆运算；定积分 = 曲线下面积；不定积分 = 反导数。多项式 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。

§11.7；恒定速度下位移 = 速度 × 时间；变速度下用积分。

匀速圆周运动

速度大小不变、方向沿切线；向心加速度 a_c = v²/r = ω²r 指向圆心；周期 T = 2π/ω。

§11.8；卫星 / 车轮 / 飞行盘旋的物理基础。

二、详细笔记

2.1 基本物理量与单位 (Basic Quantities & Units)

What：运动学的基本量是时间、距离、速度、加速度；质量用于动力学（§12 章）。

Why：所有物理计算前必须先统一单位；混用 SI 与英制单位是物理引擎常见 bug 来源。

How：

SI 单位（科学 / 国际标准）：

时间 t：秒 (s)
距离 d：米 (m)
速度 v = d/t：米每秒 (m/s)
加速度 a = v/t：米每秒平方 (m/s²)
质量 m：千克 (kg)

常用换算（§11.2.4）：

1 m = 3.28083 ft
1 km/h = 0.27778 m/s
1 g（重力加速度）= 9.80665 m/s²

游戏物理单位选择

仿真（物理引擎）：统一 SI（m, kg, s）；与数学公式直接对应。
显示（UI、HUD）：再换算到玩家友好单位（如 km/h、英里/小时）。
跨单位计算必报错——0.5 km/h + 10 m/s 是数字但语义错。

When：物理引擎初始化；HUD 单位切换；网络同步（双方必须用同一单位）。

Example：30 km/h = 30 × 0.27778 m/s ≈ 8.33 m/s（城市道路限速）。

2.2 平均速度 vs 瞬时速度 (Average vs Instantaneous Velocity)

What：平均速度 = 位移 / 时间；瞬时速度 = 时间窗口 → 0 时的极限。

Why：平均速度是粗粒度（每小时跑多少公里）；瞬时速度是细粒度（当前 0.001 秒的速度）。

How：

平均速度（§11.3）：

\[v_{\text{avg}} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1} \end{bmatrix}\]

瞬时速度（§11.4）：极限当 Δt → 0：

\[v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{d(t + \Delta t) - d(t)}{\Delta t} = \frac{d}{dt} d(t) \end{bmatrix}\]

极限的工程意义

数学：Δt 无限小 ⇒ 速度精确。
工程：Δt = 1/60 秒（60 FPS 物理步长）≈ 0.0167 秒——足够小；游戏物理常用。
极限的概念帮助理解"为什么 x += v * dt 能近似瞬时位移"。

When：物理引擎每帧更新位置 / 速度；有限差分近似瞬时导数。

Example：物体 2 秒内走 10 米，平均速度 5 m/s；但若加速运动，第 1 秒末瞬时速度可能是 4 m/s、第 2 秒末 6 m/s。

2.3 导数 (Derivative)

What：函数在某点的 瞬时变化率；几何 = 切线斜率。

Why：导数是物理学中"瞬时速度 / 瞬时加速度 / 瞬时功率"等概念的数学基础；游戏物理循环本质是离散积分 / 差分。

How：

定义（§11.4.1）：

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{bmatrix}\]

基本求导公式（§11.4.2）：

多项式：d/dx [xⁿ] = n xⁿ⁻¹
常数：d/dx [c] = 0
三角：d/dx [sin x] = cos x、d/dx [cos x] = -sin x
指数：d/dx [eˣ] = eˣ

求导的工程近似

游戏物理循环常用 前向差分 近似导数：

\[v(t) \approx \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} \end{bmatrix]\]

Δt 越小越精确；太大则引入数值不稳定（如弹性碰撞）。

When：物理引擎（位置 → 速度 → 加速度的差分）；shader 动画曲线（求导得到切线）；地形坡度计算（高度图差分）。

Example：d(t²) / dt = 2t——t=2 时变化率 4；t=0 时变化率 0（极小值点）。

2.4 加速度 (Acceleration)

What：速度的变化率 a = dv/dt；恒定加速度下 5 个运动学公式 (SUVAT)。

Why：游戏重力、跳跃、加速 / 减速、碰撞冲量等核心物理量；动力学（§12）的桥梁。

How：

恒定加速度运动学 5 公式（§11.6）：

\[v = u + a t \end{bmatrix}\]

\[d = \frac{(u + v) t}{2} \end{bmatrix}\]

\[d = u t + \frac{1}{2} a t^2 \end{bmatrix> [latexmath]\]

v^2 = u^2 + 2 a d \end{bmatrix>

\[d = v t - \frac{1}{2} a t^2 \end{bmatrix}\]

其中 u = 初速度、v = 末速度、a = 加速度、t = 时间、d = 位移。

重力加速度：g = 9.80665 m/s²（地球表面，竖直向下）。

SUVAT 公式的"5 个变量"

任一公式有 4 个变量，已知任意 3 个可解第 4 个。5 个公式本质上是 4 个独立关系。

When：自由落体；抛体运动；汽车加速；跳跃物理；子弹下坠补偿。

Example：物体从静止下落 1 秒：v = 0 + 9.8 · 1 = 9.8 m/s，d = 0 · 1 + ½ · 9.8 · 1² = 4.9 m。

2.5 积分 (Integral)

What：微分的逆运算；定积分 = 曲线下面积；不定积分 = 反导数。

Why：恒定加速度下"位移 = 速度 × 时间 + ½ 加速度 × 时间²"就是积分；物理引擎累积位移 = ∫ 速度 dt。

How：

基本积分公式（§11.7）：

多项式：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ -1）
三角：∫ sin x dx = -cos x + C、∫ cos x dx = sin x + C
指数：∫ eˣ dx = eˣ + C

定积分（"曲线下面积"）：

\[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \end{bmatrix}\]

其中 F 是 f 的反导数。

微积分基本定理

正向：积分（求面积）= 微分（求变化率）的逆运算。
工程：物理引擎 "x += v * dt" 是 x = ∫ v dt 的离散近似。
几何：∫v dt 表示"速度-时间曲线下的面积 = 位移"。

When：物理引擎位置更新（速度累积）；能量计算（功率对时间积分）；曲线下面积（如不规则多边形面积）。

Example：∫₀^π sin x dx = [-cos x]₀^π = -(-1) - (-1) = 2——sin 在 [0, π] 上的面积 = 2。

2.6 匀速圆周运动 (Uniform Circular Motion)

What：速度大小不变、方向沿切线持续旋转；速度变化只来自方向变化，产生 向心加速度。

Why：卫星轨道、车轮旋转、飞行盘旋、原子内电子运动的基础；3D 游戏中"绕某点旋转"。

How：

向心加速度（§11.8）：

\[a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \end{bmatrix}\]

其中 v = 线速度、ω = 角速度、r = 圆半径。

周期与频率：

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}, \quad f = \frac{1}{T} \end{bmatrix}\]

向心加速度的方向

速度方向：沿切线（运动方向）。
加速度方向：指向圆心（不是切线）。
大小恒定，方向持续变化——这是"匀速"（速度大小）但"非匀速"（速度向量）。

When：卫星轨道；车轮 / 螺旋桨旋转；相机绕物体旋转（第三人称）；离心力计算（§12.4）。

Example：地球绕太阳公转 r = 1.5×10¹¹ m，v ≈ 30 km/s ⇒ a_c = v²/r ≈ 0.006 m/s²（约地球重力 1/1600）。

三、关键图表

视觉图表

Figure 1. 图 11-1：距离-时间图（直线 vs 曲线运动）

Figure 2. 图 11-2：平均速度的几何（割线斜率）

Figure 3. 图 11-3：瞬时速度的几何（切线斜率）

Figure 4. 图 11-4：加速度的物理（重力下落）

Figure 5. 图 11-5：匀速圆周运动（速度 + 向心加速度）

Figure 6. 图 11-6：曲线下面积 = 定积分

非可视化条目

非可视化条目（表 / 算法）

编号内容摘要

表 11.1

SI 单位换算表（长度 / 质量 / 时间 / 速度 / 加速度）。

表 11.2

常用基本求导公式（多项式 / 三角 / 指数 / 对数）。

表 11.3

常用基本积分公式（与求导公式对应）。

式 11-1 至 11-12

平均速度、瞬时速度、加速度、恒定加速度运动学公式（SUVAT）、向心加速度、周期。

列表 11.1

离散积分 C 代码：x += v * dt; v += a * dt;（半隐式 Euler）。

核心公式对照表

概念

公式

平均速度

\(v_{\text{avg}} = \frac{\Delta d}{\Delta t}\)

瞬时速度（导数）

\(v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{d}{dt} d(t)\)

加速度

\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 d}{dt^2}\)

恒定加速度（位移）

\(d = u t + \frac{1}{2} a t^2\)

恒定加速度（末速度）

\(v = u + a t\)

恒定加速度（速度-位移）

\(v^2 = u^2 + 2 a d\)

定积分（面积）

\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)

向心加速度

\(a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\)

周期

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}\)

四、思维导图

mindmap
  root((第 11 章 直线运动学与微积分))
    基本量与单位
      时间距离速度
      SI单位
      单位换算
    平均vs瞬时
      位移除以时间
      极限取导数
      切线斜率
    导数
      多项式求导
      三角求导
      工程差分近似
    加速度
      速度的导数
      重力
      SUVAT公式
    积分
      微分逆运算
      曲线下面积
      反导数
    匀速圆周
      向心加速度
      切线速度
      周期频率

五、重点与易错点

单位一致：物理计算前必须统一单位；混用 SI 与英制会导致"数字对结果错"。
导数 = 切线斜率 = 瞬时变化率：3 种视角等价，工程上前向差分近似。
- 离散积分 / 差分的工程近似：x += v * dt 是位移积分近似；v += a * dt 是速度积分近似——半隐式 Euler。
- 恒定加速度 5 公式 (SUVAT)：u、v、a、t、d 任一公式 4 个变量；已知 3 个解第 4 个。
- 导数与积分互逆：d/dx ∫ f dx = f；∫ f'(x) dx = f + C。
- 向心加速度 ≠ 切向加速度：匀速圆周运动只有向心（指向圆心）；变速圆周运动两者都有。
- 重力加速度 g ≈ 9.8 m/s²：游戏物理硬编码此值；月球 / 火星 / 太空场景需替换。
- 微积分基本定理：定积分 = 反导数在端点的差；这是数值积分的理论基础。
- 有限差分的稳定性：dt 太大可能让弹性系统爆炸；dt 太小浪费 CPU；通常 1/60 秒或 1/120 秒。
- 游戏中通常用半隐式 Euler：先更新速度再更新位置（比纯 Euler 稳定）。
- 跨章衔接：第 12 章把加速度与力（F = ma）连接；圆周运动 + 力 = 向心力 / 离心力；积分是动能定理的基础。

第 11 章 力学 1：直线运动学与微积分 (Mechanics 1: Linear Kinematics and Calculus)

核心结论

一、核心概念

二、详细笔记

2.1 基本物理量与单位 (Basic Quantities & Units)

2.2 平均速度 vs 瞬时速度 (Average vs Instantaneous Velocity)

2.3 导数 (Derivative)

2.4 加速度 (Acceleration)

2.5 积分 (Integral)

2.6 匀速圆周运动 (Uniform Circular Motion)

三、关键图表

视觉图表

非可视化条目

核心公式对照表

四、思维导图

五、重点与易错点

第 11 章力学 1：直线运动学与微积分 (Mechanics 1: Linear Kinematics and Calculus)