第 1 章笛卡尔坐标系 (Cartesian Coordinate Systems)

核心结论

3D 数学的根基是笛卡尔坐标系：通过原点、轴与有符号距离，把 3D 空间中"位置 / 距离 / 角度"的连续直观问题转化为代数计算。
1D→3D 是递进而非对称的：所有 2D 坐标系都可通过旋转对齐（无手性问题），但 3D 存在左手 / 右手两套不可旋转对齐的体系，这是后续矩阵 / 四元数 / 叉积符号差异的源头。
数值精度是工程权衡：C++ 中 short / int / float / double 全是离散的，选型本质是精度权衡而非"离散 vs 连续"。书中"第一法则"——If it looks right, it is right.——把可视化验证置于数值严格性之上。
左手 vs 右手只差一个负号：把任意一个轴反向即可切换手性，对绝大多数公式影响仅在 z 相关的符号上；但旋转"正方向"由对应手性的手指定则决定，混淆会导致旋转矩阵列序与叉积方向全错。
本书用左手系：+x=右、+y=上、+z=前（屏幕里则 +z=外）；数学身份式在任何手性下都成立，但应用到旋转 / 投影时需明确差异。
数学预备集中于 §1.4：求和 / 区间 / 角度（度 vs 弧度）/ 三角函数与恒等式——后续章节默认读者掌握，不再展开。

本章主旨

本章是全书的"约定章"。它不引入新的 3D 工具，而是建立后续 12 章都要复用的词汇与坐标系惯例：从数系复习 → 2D 笛卡尔 → 3D 笛卡尔 → 左手 / 右手手性 → 全书采用的左手系约定 → 数学预备速览。第 2 章起的向量、矩阵、变换都是在这些约定之上展开。

一、核心概念

本章围绕 6 个核心概念展开：先从 1D 数系复习建立"连续 vs 离散"的工程直觉，再逐步上升到 2D / 3D 笛卡尔坐标系，然后用手性区分不可对齐的 3D 体系，最后约定本书惯例并补齐数学预备。

概念定义 + 重要性实现提示

概念	定义 + 重要性	实现提示
数系与精度	自然数 → 整数 → 有理数 → 实数的层级；C++ 中 `short/int/float/double` 均为有限离散表示，精度取决于位宽。直接关联 §1.1 第一法则："看起来对就是对的"。	选择 `float` 还是 `double` 是工程决策；图形硬件偏好 `float`，物理仿真与累积运算偏好 `double` 以减小漂移。
2D 笛卡尔空间	由原点 + 两条互相垂直的轴构成，点的位置用 `(x, y)` 有符号距离表示。轴的方向可任意选取（屏幕坐标系常 +y 向下）。	§1.2 完整定义；§1.2.3 给出"点到点的距离公式"前置；后续 2D 图形 / UV 坐标全部依赖此抽象。
3D 笛卡尔空间与坐标平面	增加第三条轴 z，三轴两两垂直。两轴确定一个坐标平面：`xy / xz / yz`；任意平面本身也是合法的 2D 子空间。	§1.3.1 引入三平面；§1.3.2 把 2D 的"有符号距离"推广到 3D——点的 x 是到 yz 平面的有符号距离。
手性与坐标系方向	所有 3D 坐标系分两类：左手 / 右手。同手性可旋转对齐，异手性不可——只能通过反转一个轴切换。	§1.3.3 用手指给出"手性判定"；表 1.1 列出三轴正方向的旋转映射（左手顺时针 / 右手逆时针）。后续矩阵列序、叉积方向、`-z` 是否出现在投影公式中均由此决定。
本书的坐标惯例	左手系；+x=右、+y=上、+z=前；地理场景下 +x=东、+z=北。该惯例与 Unity 一致，与 OpenGL / DirectX 默认右手系需做 `z` 翻转。	§1.3.4 全文约定；后续旋转公式默认按左手系推导，使用右手系 API 时要在投影矩阵里加 `z` 翻转。
数学预备：求和 / 区间 / 弧度 / 三角	求和符号 `Σ`、区间记法 `[a, b]`、弧度与角度互换 `1 rad = (180/π)°`、三角函数基于单位圆的定义以及毕达哥拉斯 / 和差恒等式。这些是后续向量 / 矩阵推导的脚手架。	§1.4 速览；公式表 1.2 给出常用角度的三角值；式 1-1 给出和差恒等式，后续向量点积 / 叉积推导会引用。

数系与精度

自然数 → 整数 → 有理数 → 实数的层级；C++ 中 short/int/float/double 均为有限离散表示，精度取决于位宽。直接关联 §1.1 第一法则："看起来对就是对的"。

选择 float 还是 double 是工程决策；图形硬件偏好 float，物理仿真与累积运算偏好 double 以减小漂移。

2D 笛卡尔空间

由原点 + 两条互相垂直的轴构成，点的位置用 (x, y) 有符号距离表示。轴的方向可任意选取（屏幕坐标系常 +y 向下）。

§1.2 完整定义；§1.2.3 给出"点到点的距离公式"前置；后续 2D 图形 / UV 坐标全部依赖此抽象。

3D 笛卡尔空间与坐标平面

增加第三条轴 z，三轴两两垂直。两轴确定一个坐标平面：xy / xz / yz；任意平面本身也是合法的 2D 子空间。

§1.3.1 引入三平面；§1.3.2 把 2D 的"有符号距离"推广到 3D——点的 x 是到 yz 平面的有符号距离。

手性与坐标系方向

所有 3D 坐标系分两类：左手 / 右手。同手性可旋转对齐，异手性不可——只能通过反转一个轴切换。

§1.3.3 用手指给出"手性判定"；表 1.1 列出三轴正方向的旋转映射（左手顺时针 / 右手逆时针）。后续矩阵列序、叉积方向、-z 是否出现在投影公式中均由此决定。

本书的坐标惯例

左手系；+x=右、+y=上、+z=前；地理场景下 +x=东、+z=北。该惯例与 Unity 一致，与 OpenGL / DirectX 默认右手系需做 z 翻转。

§1.3.4 全文约定；后续旋转公式默认按左手系推导，使用右手系 API 时要在投影矩阵里加 z 翻转。

数学预备：求和 / 区间 / 弧度 / 三角

求和符号 Σ、区间记法 [a, b]、弧度与角度互换 1 rad = (180/π)°、三角函数基于单位圆的定义以及毕达哥拉斯 / 和差恒等式。这些是后续向量 / 矩阵推导的脚手架。

§1.4 速览；公式表 1.2 给出常用角度的三角值；式 1-1 给出和差恒等式，后续向量点积 / 叉积推导会引用。

二、详细笔记

2.1 数系与精度 (Number Systems & Precision)

What：从自然数 → 整数 → 有理数 → 实数的层级，以及在计算机中以有限位宽近似实数带来的精度选择问题。

Why：3D 图形看似处理连续实数，但 GPU / CPU 只能存有限离散值。"看起来对"之所以成为第一法则，就是因为最后要把实数误差折算成"屏幕上看不出来"。

How：

C++ 数据类型的有效位宽（按当前 PC 约定）：

类型容量

类型	容量
典型用途	`short`
16 bit，约 65 536 值	不适合 VR；偶用于 packed vertex buffer
`int`	32 bit，约 43 亿值
索引 / 像素坐标足够	`float`
32 bit，约 43 亿离散有理子集	顶点 / 法线 / 颜色；GPU 原生类型
`double`	64 bit，更高密度

典型用途

short

16 bit，约 65 536 值

不适合 VR；偶用于 packed vertex buffer

int

32 bit，约 43 亿值

索引 / 像素坐标足够

float

32 bit，约 43 亿离散有理子集

顶点 / 法线 / 颜色；GPU 原生类型

double

64 bit，更高密度

第一法则（First Law of Computer Graphics）：If it looks right, it is right.——在 3D 视觉场景下，肉眼不可见的浮点误差可被接受，远比追求数值的严格正确重要。

When：选 float vs double 时——若需要长时间累积（积分 / 物理链式变换）或精度敏感（碰撞检测、布尔运算），用 double；若每帧每顶点多次矩阵乘法且需要带宽，用 float。

Example：在 830 页长篇里，作者风趣地把"零"和"负数"的发明归功于"卖不存在的羊的快嘴商人"——但工程上负数与零是向量取反与矩阵奇异性判定的关键。

2.2 2D 笛卡尔空间 (2D Cartesian Space)

What：由原点（origin）与两条过原点的轴（x 轴 / y 轴）构成的平面框架；点的位置由 (x, y) 两个有符号距离唯一确定。

Why：所有 2D 渲染（屏幕像素、纹理 UV、地图、棋盘）都基于此抽象。把"现实中的位置"映射为"两个数"是图形编程的第一步。

How：

2D 笛卡尔坐标系的关键要素：

原点：坐标系的"中心"，是两条轴的唯一交点。
两条互相垂直的轴：通常记 x 轴（水平）与 y 轴（垂直），正向由约定确定。
点的坐标：P = (x, y)，其中 x 是点到 y 轴的有符号距离，y 是点到 x 轴的有符号距离。

轴向约定的多样性

约定不唯一：

数学标准：+x=右、+y=上。
屏幕坐标：+x=右、+y=下，原点在左上角。
地图坐标：可任意旋转 / 翻转（如图 1.7 所示 8 种 2D 方向）。

在 2D 中，任意两个坐标系都可以通过旋转 / 镜像对齐——即"所有 2D 坐标系都等价"。这是 §1.3.3 进入 3D 时要颠覆的关键直觉。

When：用 2D 笛卡尔表示平面几何（屏幕像素、纹理采样、地图投影）；用 极坐标（第 7 章）表示方向 / 距离分离的物理量（雷达、声音、旋转）。

Example：Cartesia 城用 "East 2nd Street / North 4th Street" 命名街道，对应 (x=2, y=4)。从 (2, 4) 到 (-2, -3) 的位移即 (-4, -7)，向南 7 街 / 向西 4 街。

2.3 3D 笛卡尔空间与坐标平面 (3D Cartesian Space & Coordinate Planes)

What：在 2D 基础上增加第三条轴 z，三轴两两垂直；任意两轴确定一个 2D 坐标平面（xy / xz / yz），三平面两两垂直。

Why：从 2D 到 3D 不是"再加 50% 复杂度"——它引入了手性（§2.4），这一性质在 2D 中不存在。但 3D 任意坐标平面本身仍是合法的 2D 笛卡尔空间，可以独立分析（如地面 = xz 平面）。

How：

3D 笛卡尔坐标系的关键扩展：

第三条轴 z：与 x、y 都垂直，正方向由约定确定（左手 +z=前；右手 +z=外）。
三平面：xy / xz / yz；每个平面包含两条轴，垂直于第三条。
3D 点定位：(x, y, z)，x 是到 yz 平面的有符号距离（沿平行于 x 轴的直线测量），y 是到 xz 平面的有符号距离，z 是到 xy 平面的有符号距离。

3D 不再是 2D 的简单叠加

2D 中"所有坐标系等价"靠旋转即可对齐；3D 中存在两种不可通过旋转对齐的坐标系——左、右手系（§2.4）。这导致从 2D 直觉推导 3D 时，"看起来一样"的运算可能差一个负号。

When：3D 笛卡尔是第 2 章起所有内容的坐标系；坐标平面常用于把 3D 问题降维（如把角色动画投影到 xy 屏幕平面分析）。

Example：把 +x、+y、+z 分别赋为右、上、前时，"地面"就是 xz 平面（y=0），角色在地面上跑步等价于 2D xz 平面问题。

2.4 手性与坐标系方向 (Handedness)

What：3D 坐标系分左手系与右手系；同手性可旋转对齐，异手性只能通过翻转一个轴切换。正向旋转的方向（左手顺时针 / 右手逆时针）由对应手的手指定则（hand rule）给出。

Why：手性决定了叉积方向、旋转矩阵列序、欧拉角旋转符号、z 是否在投影公式中带负号——一旦混淆，所有旋转 / 朝向 / 法线方向的代码都会与可见结果相反。

How：

手性判定（"手指定则"）：

左手系：左手拇指=+x、食指=+y、中指=+z；观察轴正向时，正向旋转是 顺时针。
右手系：右手拇指=+x、食指=+y、中指=+z；正向旋转是 逆时针。
等价切换：反转任意一个轴的正方向（左 ↔ 右切换）；交换两个轴等价于绕第三个轴旋转 180°，手性不变。

式 1-1 给出的手性差异——卡迪尔轴上的正向旋转映射：

\[\begin{array}{c|ccc} \text{绕轴} & \text{左手正方向} & \text{右手正方向} \\ \hline +x & +y \to +z \to -y \to -z \to +y & +y \to -z \to -y \to +z \to +y \\ +y & +z \to +x \to -z \to -x \to +z & +z \to -x \to -z \to +x \to +z \\ +z & +x \to +y \to -x \to -y \to +x & +x \to -y \to -x \to +y \to +x \\ \end{array}\]

When：写旋转矩阵 / 叉积 / 法线变换时，永远先问"当前手性是什么"；跨引擎复用代码时（Unity 左手 ↔ OpenGL 右手），第一件事是在投影矩阵加 z 翻转。

Example：用右手系做 cross(forward, up)，若得到 right，那么在左手系中要改成 cross(up, forward) 才能得到 right。

2.5 本书的坐标惯例 (Book Conventions)

What：本书采用左手系；+x=右、+y=上、+z=前；地理场景下 +x=东、+z=北。

Why：全书公式按此推导；复用本书代码到右手系（OpenGL / DirectX）时，需要把 z 翻转或调整矩阵列序。

How：

左手系：与 Unity 渲染管线默认一致；与 OpenGL / 传统线性代数默认的右手系相反。
轴映射：3D 屏幕视图下，+x=右、+y=上、+z=前（看向屏幕外）；世界场景下，+x=东、+z=北，+y 仍为上。
不影响的部分：所有向量代数恒等式（点积对称性、叉积反交换律等）在任何手性下都成立；差异仅出现在"应用到具体旋转 / 投影"的最后一步。

3D 坐标系组合总数

2D 笛卡尔只有 8 种轴向组合（图 1.7），都可旋转对齐；3D 笛卡尔有 48 种组合（24 左手 + 24 右手），其中异手性不可对齐——这是把 3D 视为"50% 更复杂"是不够的根因。

When：阅读本书公式时，默认在左手系；如读者使用右手系引擎，在脑中加一次 z → -z 的镜像即可。

Example：把本书的视图矩阵直接喂给 OpenGL（右手指南），会出现"深度反转 + 朝向镜像"的复合错误，常见修正是在投影矩阵中乘一个 (1, 1, -1, 1) 的对角缩放。

2.6 数学预备：求和 / 区间 / 弧度 / 三角 (Math Refresher)

What：本节给出后续章节默认掌握的数学速览——求和记法、区间记法、弧度与角度互换、三角函数与恒等式。

Why：向量点积 / 叉积、矩阵乘法、傅里叶分析都基于这些记法。速览集中放在这里，后续章节直接使用。

How：

核心记法与换算：

求和记法：\(\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)；连乘用 Π。
区间记法：[a, b] 闭区间（含端点），(a, b) 开区间（不含端点），[a, b) 半开；无穷端按开区间处理，如 latexmath:[0, +\infty)。
弧度 ↔ 角度：\(1 \text{ rad} = (180/\pi)^\circ \approx 57.29578^\circ\)，\(1^\circ = (\pi/180) \text{ rad} \approx 0.01745329 \text{ rad}\)。
三角函数（单位圆定义）：\(\cos\theta = x,\ \sin\theta = y\)（射线端点 (x, y)）。
毕达哥拉斯恒等式（式 1-1 之一）：\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)，\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)，\(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)。
和差恒等式（式 1-1 主体）：

\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

When：所有后续章节直接使用以上记法；弧度在 C++ 中以 double 存储，三角函数 std::sin / std::cos / std::tan 接收弧度。

Example：把 30° 喂给 C++ std::sin 会得到 0.5 之外的奇怪值；正确做法是 std::sin(30 * M_PI / 180)，对应表 1.2 第一行非零值。

三、关键图表

视觉图表

Figure 1. 图 1-1：1 只死羊（自然数的隐喻起源）

Figure 2. 图 1-2：自然数的数轴

Figure 3. 图 1-3：整数数轴（含负数"幽灵羊"）

Figure 4. 图 1-4：虚构城市 Cartesia 的街道地图

Figure 5. 图 1-5：标准 2D 笛卡尔坐标空间

Figure 6. 图 1-6：屏幕坐标空间（+y 朝下）

Figure 7. 图 1-7：2D 中 8 种可能的轴向组合

Figure 8. 图 1-8：用 2D 笛卡尔坐标定位点

Figure 9. 图 1-9：典型点的 2D 笛卡尔坐标示例

Figure 10. 图 1-10：3D 笛卡尔坐标空间示意

Figure 11. 图 1-11：在 3D 中定位点

Figure 12. 图 1-12：左手坐标系

Figure 13. 图 1-13：右手坐标系

Figure 14. 图 1-14：左手 / 右手定则定义"正向旋转"

Figure 15. 图 1-15：本书采用的左手坐标系约定

Figure 16. 图 1-16：弧度——单位圆上的弧长

Figure 17. 图 1-17：标准位置的角

Figure 18. 图 1-18：斜边 / 邻边 / 对边

Figure 19. 图 1-19：使用 (x, y) 坐标的一般三角解释

Figure 20. 图 1-20：毕达哥拉斯定理示意

非可视化条目

非可视化条目（表 / 算法）

编号内容摘要

表 1.1

绕卡迪尔轴正向旋转时，左手系顺时针 / 右手系逆时针；列出三轴 +x / +y / +z 上 +y→+z→-y→-z→+y 等 12 条映射。

表 1.2

常用角度（0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、210°、225°、240°、270°、300°、315°、330°、360°）的弧度值及六个三角函数值。

式 1-1

和差恒等式族：sin(a±b)、cos(a±b)、tan(a+b) 展开式；毕达哥拉斯恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 等。

核心公式对照表

式号

公式

式 1-1（毕达哥拉斯）

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,\quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta,\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)

式 1-1（和差）

\(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)

\(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)

弧度-角度换算

\(1 \text{ rad} = (180/\pi)^\circ\)

\(1^\circ = (\pi/180) \text{ rad}\)

四、思维导图

mindmap
  root((第 1 章 笛卡尔坐标系))
    数系与精度
      自然数到实数
      C++位宽选择
      第一法则
    2D 笛卡尔空间
      原点与轴
      点的有符号距离
      8种2D方向皆等价
    3D 笛卡尔空间
      z轴与三平面
      点的3D定位
      2D直觉在3D失效
    手性
      左手系顺时针
      右手系逆时针
      翻转一轴切换手性
    本书惯例
      左手系
      xyz前右上
      地理x东z北
    数学预备
      求和与区间
      弧度与角度
      三角与毕达哥拉斯

五、重点与易错点

第一法则是工程取舍：3D 图形默认用 float，不要在不必要时升级到 double；反之物理 / 累积运算上 float 漂移明显，需 double。
2D 中所有坐标系都等价：任意两个 2D 笛卡尔坐标系可旋转 / 镜像对齐；屏幕坐标与数学坐标的差异仅是 y 取向，不是"另一个坐标系"。
3D 手性不可旋转对齐：左手系与右手系是不可通过旋转互化的两类；只能在 3D 中通过反转一个轴切换。
手指定则给出旋转正方向：左手系正方向顺时针、右手系逆时针——表 1.1 列了三轴的具体映射，是后续叉积 / 旋转矩阵正确性的判断依据。
本书左手系约定：+x=右、+y=上、+z=前；移植到 OpenGL 右手系时第一件事是投影矩阵的 z 翻转（乘 (1, 1, -1, 1) 对角矩阵或调整矩阵第三行符号）。
弧度 vs 角度：C++ std::sin / std::cos 默认输入是弧度；把 30° 直接喂进去会得到 ~0.988 这种看似合理但错误的值，正确做法是 30 * M_PI / 180。
三角恒等式是后续推导工具：式 1-1 的和差展开在第 2 章向量点积 / 第 8 章欧拉角旋转推导中会被反复引用。
(x, y) 的二义性：既可表示 2D 点，又可表示开区间 / 2D 向量——靠上下文区分；推荐在表达式中显式写 P = (2, 4)（点）或 v = (2, 4)（向量）。
3D 不是 2D 的 50% 增量：维度叠加带来的复杂度是非线性的，许多 2D 简单问题在 3D 中 未定义（如三角形顺逆时针在 3D 中依赖观察方向），这是后续章节反复回到 "降维到 2D" 思路的原因。
跨章衔接：第 2 章在 3D 笛卡尔之上引入向量（位置 / 位移 / 方向）；第 7 章引入极坐标作为 2D / 3D 中"方向 + 长度"分离的另一选择；第 10 章把三角 / 弧度推广到 3D 几何（球坐标 / 弧长参数化）。

第 1 章 笛卡尔坐标系 (Cartesian Coordinate Systems)

核心结论

一、核心概念

二、详细笔记

2.1 数系与精度 (Number Systems & Precision)

2.2 2D 笛卡尔空间 (2D Cartesian Space)

2.3 3D 笛卡尔空间与坐标平面 (3D Cartesian Space & Coordinate Planes)

2.4 手性与坐标系方向 (Handedness)

2.5 本书的坐标惯例 (Book Conventions)

2.6 数学预备：求和 / 区间 / 弧度 / 三角 (Math Refresher)

三、关键图表

视觉图表

非可视化条目

核心公式对照表

四、思维导图

五、重点与易错点

第 1 章笛卡尔坐标系 (Cartesian Coordinate Systems)