附录 B 习题答案 (Answers to the Exercises)

1.2（点的坐标）：a = (-2.5, 3), b = (1, 2), …​, i = (-3, -2)

1.3（48 种轴向）：分左手 / 右手两套，每套 24 种

1.4（手性判断）：(a) 右手系；(b) 交换 y/z；(c) 交换 y/z

1.5（旋转方向）：(a) 右手系；(b/c) 坐标系转换公式

1.6（点 vs 向量）：点的位置可换、向量大小不可换

1.7（求和）：15 / 30 / 3840 / 2016840 / 5050

1.8（弧度转换）：π/6 / -π/4 / π/3 / π/2 / -π / 5π/4 / -3π/2 / 2.923 / 9.198 / -6π

1.9（角度累加）：-30° / 120° / 270° / -240° / 360° / 1° / 10° / -900° / 1800° / 36°

1.10（毕达哥拉斯）：a² + b² = c²（c 是斜边）

1.11（恒等式证明）：sin² + cos² = 1；sec² - 1 = tan²；1 + cot² = csc²

2.1（向量 vs 标量）：weight 是标量 / 速度是标量 / "向北 2 街区"是向量 / "600 mph 向东"是向量

2.2（取反）：-a = [-3, -7]；b 取反 = [12, -5]

2.3（加减）：a + b = [4, 0]；a - b = [4, -6]

2.4（数乘）：3a = [3, 9]；-1/2 b = [-1, 2]

2.5（大小）：|a| = √13 ≈ 3.61；|b| = √29 ≈ 5.39

2.6（单位向量）：a_hat = [3, 2] / √13；b_hat = [-2, 1] / √5

2.7（距离）：|a - b| = √29

2.8（点积）：a · b = 4 + 6 = 10（若 a = [1,2], b = [2,3]）；a · b = |a||b|cosθ

2.9（夹角）：cosθ = 10 / (√13 · √13) = 10/13 ⇒ θ ≈ 39.7°

2.10（叉积 3D）：a × b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)

2.11（叉积大小）：|a × b| = |a||b|sinθ = 平行四边形面积

3.1（坐标空间必要性）：某些信息只在特定参考系可知

3.2（坐标空间类型）：world / object / camera / upright

3.3（变换视角）：换参考系 ≡ 移动点（数学等价）

3.4（基向量）：p, q, r 线性无关；span 出整个空间

3.5（嵌套空间）：object → upright 用旋转；upright → world 用平移

3.6（直立空间）：原点同物体 + 轴向同世界 = 分解"旋转 + 平移"

4.1（矩阵代数）：M^T = (M 转置)；M · M^T 给出对称矩阵

4.2（矩阵乘法）：满足维度匹配则 r×n · n×c = r×c

4.3（行向量 vs 列向量）：本书默认行向量 ⇒ v' = vM；D3D 默认列向量 ⇒ v' = Mv；矩阵互转

4.4（矩阵几何）：M 的每一行 = 变换后基向量

4.5（构造矩阵）：先看 +x / +y / +z 基向量去哪，再写进行

4.6（线性变换）：保持直线 / 平行线 / 原点；不含平移

5.1（旋转矩阵）：绕 x / y / z 轴的 3×3 旋转矩阵；手性决定正方向

5.2（缩放矩阵）：对角元素 = 缩放因子；负因子 = 反射

5.3（正交投影）：把维度降一阶（3D → 2D）；投影方向垂直投影平面

5.4（反射）：行列式 = -1；手性翻转

5.5（剪切）：保持面积（det = 1），改变角度

5.6（变换组合）：M = T · R · S（行向量约定下"先发生写在右"）

5.7（变换分类）：linear ⊂ affine ⊂ invertible ⊂ angle-preserving ⊂ orthogonal ⊂ rigid-body

6.1（行列式）：2×2 = ad - bc；3×3 = Sarrus 法则

6.2（矩阵的逆）：M⁻¹ = adj(M) / det(M)；det ≠ 0 才存在

6.3（正交矩阵）：M^T · M = I；M^T = M⁻¹；保长保角

6.4（4×4 齐次）：把平移纳入矩阵乘法；w = 1 是点，w = 0 是向量

6.5（透视投影）：通过 w 分量实现近大远小；视锥体 → NDC 立方体

7.1（2D 极坐标）：(r, θ) → (x, y) 用 x = r cosθ, y = r sinθ

7.2（别名）：(-r, θ+180°) ≡ (r, θ)

7.3（canonical）：r ≥ 0、θ ∈ (-180°, +180°]、r = 0 ⇒ θ = 0

7.4（柱坐标）：在 2D 极坐标上加 z

7.5（球坐标）：两个角度 + 一个距离

7.6（heading / pitch）：本书约定；h 绕 y、p 绕右臂

7.7（万向锁）：pitch = ±90° 时 heading 无效

8.1（方向 vs 朝向）：方向 2 个数；朝向 ≥3 个数

8.2（矩阵形式）：行 = 物体基向量在 upright 坐标

8.3（欧拉角）：h / p / b；万向锁 = pitch = ±90°

8.4（轴角）：(n̂, θ) 4 个数；Rodrigues 公式

8.5（指数映射）：e = θ n̂；3 个数；适合物理引擎

8.6（四元数）：(w, x, y, z)；slerp 插值平滑

8.7（slerp）：slerp(q0, q1, t) = sin((1-t)ω)/sinω · q0 + sin(tω)/sinω · q1

8.8（互转）：q = [cos(θ/2), sin(θ/2)·n̂]；欧拉 ↔ 矩阵 ↔ 四元数 都有库函数

9.1（4 种表示）：隐式 / 参数化 / 特定类型 / 显式

9.2（线 / 射线）：参数化 P(t) = P0 + td

9.3（球）：中心 c + 半径 r；|P - c|² = r²

9.4（AABB）：min / max 两点；O(1) 相交

9.5（平面）：n̂ · x = d；点-平面距离

9.6（三角形）：面积 = |e1 × e2| / 2；重心坐标 α + β + γ = 1

9.7（多边形）：凸 / 凹；3D 引擎几乎只用三角形

10.1（图形管线）：顶点 → 图元 → 顶点着色 → 裁剪 / 投影 → 光栅化 → 片段 → 输出

10.2（3D 视图）：模型 · 视图 · 投影 · 视口

10.3（多边形网格）：索引三角；strip 节省索引

10.4（纹理）：UV + 采样 + 过滤 + mipmap

10.5（Blinn-Phong）：ambient + diffuse + specular；半向量 h

10.6（骨骼动画）：4 骨骼 / 顶点；GPU 蒙皮

10.7（凹凸映射）：法线贴图 + 切线空间 (TBN)

11.1（基本物理量）：t (s)、d (m)、v (m/s)、a (m/s²)、m (kg)

11.2（平均速度）：v_avg = Δd / Δt

11.3（瞬时速度）：v(t) = lim Δt→0 Δd/Δt = d/dt d(t)

11.4（导数）：多项式 d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹；d/dx [sin x] = cos x

11.5（加速度）：a = dv/dt

11.6（恒定加速度）：d = ut + ½at²；v = u + at；v² = u² + 2ad

11.7（积分）：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

11.8（向心加速度）：a_c = v²/r = ω²r

12.1（牛顿三定律）：惯性、F = ma、作用反作用

12.2（力）：重力 mg / 弹簧 -kx / 摩擦 μN / 阻力 -cv

12.3（动量）：p = mv；F = dp/dt

12.4（冲量）：J = FΔt = Δp

12.5（碰撞恢复系数）：e = v_分离 / v_接近

12.6（力矩）：τ = r × F

12.7（转动动力学）：τ = Iα；L = Iω

12.8（刚体模拟器）：积分器 + 碰撞检测 + 约束求解

13.1（参数化曲线）：P(t) 是 t 的多项式；三次最常用

13.2（多项式插值）：Aitken 递归 / Lagrange 基

13.3（Hermite 曲线）：端点 + 切线

13.4（Bézier 曲线）：端点 + 控制点；de Casteljau

13.5（细分）：中点插入；级联 2ⁿ 段

13.6（样条）：多段拼接；C⁰/C¹/C² 连续

13.7（自动切线）：Catmull-Rom / Cardinal